日照一中2016届高三上学期期中考试数学（理）试卷

命题人：虢忠英 审题人： 孙璟玲

班级 考试号 姓名

第Ⅰ卷

选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.已知集合
，若
，则
等于

A.9 B.8 C.7 D.6

2.下列命题是假命题的是

A．
B．

C．
D．

3.已知偶函数
在
上递减，则

大小为

A.
B.
C.
D.

4.将函数
的图象向左平移
个单位，得到函数
的图象，则
的表达式可以是

A.
B.

C.
D.

5．在
中,已知
,则
的面积是

A．
B．
C．
或
D．

6.函数
的图像如图所示，
的导函数，则下列数值排序正确的是

A．

B．

C．

D．

7. 已知函数
的零点依次为
，则

A．
B．
C．
D．

8、函数
的部分图象为

9．已知函数f(x)＝x3＋2bx2＋cx＋1有两个极值点x1，x2，且x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]，则f(－1)的取值范围是 (　　)．

A. B.

C．[3,12] D.

10.设函数y=f(x)在区间D上的导函数为f′(x)，f′(x)在区间D上的导函数为g(x)。

若在区间D上，g(x)＜0恒成立，则称函数f(x)在区间D上为“凸函数”。已知

实数m是常数，
,若对满足|m|≤2的任何一个实数m，

函数f(x)在区间（a，b）上都为“凸函数”，则b a的最大值为（ ）

A．3 B．2 C．1 D． 1

第Ⅱ卷．

填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分.)

11．曲线
和曲线
围成的图形的面积是________.[

12.若
满足约束条件
，若目标函数
仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围为_________.

13．关于函数
（
，有下列命题：

①
的图象关于直线
对称 ②
的图象关于点（
对称

③ 若
=0,可得
必为
的整数倍

④
在
上单调递增

⑤
的图象可由
的图象向右平移
个单位得到

⑥
的表达式可改写成
，

其中正确命题的序号有

14、已知偶函数
满足
，且当
时，
，若区间
上，函数
有3个零点，则实数k的取值范围是_________.

15.已知函数
，若命题“
，且
，使得
”是假命题，则实数
的取值范围是 ．

三、解答题:（本大题共5小题，共计75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

16、已知函数

（1）求函数
的最小正周期及单调递增区间

（2）已知
，且
,求
的值

17、设命题
：函数
的定义域为
；命题
：不等式
对一切正实数
均成立。

（Ⅰ）如果
是真命题，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）如果命题“
或
”为真命题，且“
且
”为假命题，求实数
的取值范围；

18、某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数
与时间
（小时）的关系为
，
，其中
是与气象有关的参数，且
，若用每天
的最大值为当天的综合污染指数，记作

（1）令
，
，试求
的取值范围

（2）试求函数

（3）市政府规定每天的综合污染指数不得超过
，试问目前该市的污染指数是否超标

19、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为

，

函数
的图象关于点
对称.

（I）当
时，求
的值域；

（II）若
且
，求△ABC的面积

20、设函数
，其中
为常数.

（Ｉ）若
，求曲线
在点
处的切线方程；

（II）讨论函数
的单调性.

21、已知函数
，
．

（1）若函数
在
上单调递增，求实数
的取值范围

（2）若直线
是函数
图象的切线，求
的最小值

（3）当
时，若
与
的图象有两个交点
，
，求证：
．（取
为
，取
为
，取
为
）

山东省日照一中2016届高三上学期期中考试数学（理）试卷

参考答案

选择题:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



C

C

D

A

C

B

A

A

C

B



1、【解】M={x|x2﹣4x＜0}={x|0＜x＜4}，∵N={x|m＜x＜5}，

∴若M∩N={x|3＜x＜n}，则m=3，n=4，故m+n=3+4=7，故选：C

2、【解】对于C，因为

，而
，故不存在x使得
成立，因此C是假命题；

3、【解】∵
，
∴
∵f（x）在[0，2]上递减，

∴f（
）＞f（1）＞f（2）又∵f（x）是偶函数，f（
）=f（﹣
）=

∴
＞f（1）＞
，即c＞a＞b 故选D

4、【解】将函数y=cos2x的图象向左平移
个单位，可得y=cos2（x+
）=cos（2x+
）=-sin2x=-2cosx?sinx ∵y=f（x）?sinx ∴f（x）=-2cosx 故选A．

5、【解】由余弦定理可得42=
+BC2﹣2×4
×BC×cos30°，解得 BC=4，或BC=8．

当BC=4时，△ABC的面积为
×AB×BC×sinB=
×4
×4×
=4
，

当BC=8时，△ABC的面积为
×AB×BC×sinB=
×4
×8×
=8
， 故选C．

6、【解】由函数f（x）的图象可知：当x≥0时，f（x）单调递增，且当x=0时，f（0）＞0，

∴f′（2），f′（3），f（3）﹣f（2）＞0，由此可知f（x）′在（0，+∝）上恒大于0，其图象为一条直线，∵直线的斜率逐渐减小，∴f′（x）单调递减，∴f′（2）＞f′（3），

∵f（x）为凸函数，∴f（3）﹣f（2）＜f′（3）∴0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（3），故选B．

7、【解】令函数f（x）=2x+x=0，可知x＜0，即a＜0；令g（x）=log2x+x=0，则0＜x＜1，

即0＜b＜1；令h（x）=log2x﹣2=0，可知x=4，即c=4．显然a＜b＜c．故选A

8、【解】∵y=exx2﹣1，∴y'=f'（x）=exx2+2xex=ex（x2+2x），

由f'（x）=ex（x2+2x）＞0，得x＞0或x＜﹣2，此时函数单调递增，

由f'（x）=ex（x2+2x）＜0，得﹣2＜x＜0，此时函数单调递减．∴当x=0时，函数f（x）取得极小值，当x=﹣2时，函数f（x）取得极大值，对应的图象为A． 故选：A．

9、【解】f'（x）=3x2+4bx+c，（2分）依题意知，方程f'（x）=0有两个根x1、x2，

且x1∈[﹣2，﹣1]，x2∈[1，2] 等价于f'（﹣2）≥0，f'（﹣1）≤0，f'（1）≤0，f'（2）≥0．

由此得b，c满足的约束条件为

满足这些条件的点（b，c）的区域为图中阴影部分． 由题设知f（﹣1）=2b﹣c，由z=2b﹣c，将z的值转化为直线z=2b﹣c在y轴上的截距，当直线z=2b﹣c经过点（0，﹣3）时，z最小，最小值为：3．当直线z=2b﹣c经过点C（0，﹣12）时，z最大，最大值为：12．故选C．

10、【解】当|m|≤2时，f″（x）=x2﹣mx﹣3＜0恒成立等价于当|m|≤2时关于m的一次函数

h(m)= x2﹣mx﹣3＜0恒成立.∴h(-2) ＜0且 h(2) ＜0，综上可得﹣1＜x＜1，

从而（b﹣a）max=1﹣（﹣1）=2故选B．

二、填空题: 11.
12.
13. ①④ 14.
15.

11、【解】作出如图的图象联立
解得，
即点A（1，1）

所求面积为：S=
=
=
故答案为：
．

12、【解】当a=0时，显然成立．当a＞0时，直线ax+2y﹣z=0的斜率

k=﹣＞kAC=﹣1 , a＜3．当a＜0时，k=﹣＜kAB=2 a＞﹣6．

综合得﹣6＜a＜3，故答案为：（﹣6，3）．

13、解：对于①y=f（x）的对称轴是2x﹣
=k
，

即x=
，当k=﹣1时，x=﹣
，故①正确；

对于②y=f（x）的对称点的横坐标满足2x﹣
=kπ，即x=
，故②不成立；

对于③函数y=f（x）的周期π，若f（x1）=f（x2）=0可得x1﹣x2必为必是半个周期
的整数倍，故不正确；对于④y=f（x）的增区间满足﹣

， [﹣
，
]，k∈Z，故④成立；f（x）=2sin（2x﹣
）=2cos（
）=2cos（
）=﹣2cos（2x+
），故⑤不正确．故答案为：①④．

14、解：根据已知条件知函数f（x）为周期为2的周期函数；且x∈[﹣1，1]时，f（x）=|x|；

而函数g（x）的零点个数便是函数f（x）和函数y=kx+k的交点个数；

∴（1）若k＞0，则如图所示：当y=kx+k经过点（1，1）时，k=
；当经过点（3，1）时，k=
；

∴
；（2）若k＜0，即函数y=kx+k在y轴上的截距小于0，显然此时该直线与f（x）的图象不可能有三个交点；即这种情况不存在；（3）若k=0，得到直线y=0，显然与f（x）图象只有两个交点；综上得实数k的取值范围是
；故答案为：（
）．

15、解：当x＜1时，f（x）=﹣|x3﹣2x2+x|=﹣|x（x﹣1）2|=
，

当x＜0，f′（x）=（x﹣1）（3x﹣1）＞0，∴f（x）是增函数；当0≤x＜1，f′（x）=﹣（x﹣1）（3x﹣1），∴f（x）在区间（0，
）上是减函数，在（
，1）上是增函数；画出函数y=f（x）在R上的图象，如图所示；

命题“存在t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt“是假命题，

即为任意t∈R，且t≠0时，使得f（t）＜kt恒成立；

作出直线y=kx，设直线与y=lnx（x≥1）图象相切于点（m，lnm），

则由（lnx）′=
，得k=
，

即lnm=km，解得m=e，k=；

设直线与y=x（x﹣1）2（x≤0）的图象相切于点（0，0），

∴y′=[x（x﹣1）2]′=（x﹣1）（3x﹣1），则有k=1，

由图象可得，当直线绕着原点旋转时，转到与y=lnx（x≥1）图象相切，

以及与y=x（x﹣1）2（x≤0）图象相切时，直线恒在上方，即f（t）＜kt恒成立，

∴k的取值范围是（
，1]．故答案为：（
，1]．

解答题:

16. 解：（1）

所以最小正周期为

由
得

所以
的单调递增区间为
……
分

（2）由
，得
所以

所以
或
（
）

即
或

因为
所以
…………………………12分

17. 17. 解：（I）若命题为
真，即
恒成立

①当
时，
不合题意

②当
时，可得
，即

（II）令
由
得

若命题
为真，则

由命题“
或
”为真且“
且
”为假，得命题
、
一真一假

当
真
假时，
不存在

当
假
真时，

综上所述，
的取值范围是：

18.[ 解]（1）由
得

当
即
时
当
即
时

所以
的取值范围是
…………………………
分

（2）令
，

当
时，即
时，

当
时，即
时，

所以

…………………………
分

（3）当
时，易知
单调递增 所以

当
时，
由
得

当
时，