余江一中2016届高三第二次模拟考试

数学试卷（理科）

命题人:陈清华 审题人：金俊颖

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟

第I卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1.设
，则
=（ ）

A．
B．1 C．2 D．

2.
（ ）

A．
B．
C．
D．

3．给定函数①
，②
，③
，④
，其中在区间
上单调递减的函数序号是（ ）

A．①④ B．①② C．②③ D．③④

4.函数

在点
处的切线斜率的最小值是（）

A．
B．
C．
D．

5.已知角
的顶点在坐标原点，始边与
轴正半轴重合，终边在直线
上，则
等于 （ ）

A．
B．
C．
D．

6.下列四个命题中，正确的有（ ）

①两个变量间的相关系数
越小，说明两变量间的线性相关程度越低；

②命题
：“
，
”的否定
：“
，
”；

③用相关指数
来刻画回归效果，若
越大，则说明模型的拟合效果越好；

④若
，
，
，则
．

A．①③④ B．①④ C．③④ D．②③

7．定义在
上的函数
满足
．当
时，
,当
时，
，则
（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

8.在下列给出的命题中，所有正确命题的个数为（ ）

①函数
的图象关于点
成中心对称；

②对
若
，则
；

③若实数
满足
则
的最大值为
；

④若
为锐角三角形，则

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个

9.已知函数

[:]

的最小值为（ ）

A．6 B．8 C．9 D．12

10．已知函数
为奇函数，则
( )

A.-28 B.-8 C.-4 D.4

11.将5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学等三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为（ ）种．

A．240 B．180 C．150 D．540

12．已知函数
的定义域是
，
是
的导数，
，
，
，
的导数恒大于零，函数
（
是自然对数的底数）的最小值是（ ）

A.-1 B.0 C.1 D.2

第II卷

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

13.已知圆C的参数方程为
为参数），直线
的极坐标方程为
，则直线
与圆C的交点的直角坐标为 ．

14.若错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。 （用数字作答）。

15.如图，在边长为
(
为自然对数的底数)的正方形中随机取一点，则它取自阴影部分的概率为 .

16.定义：如果函数
在定义域内给定区间
上存在
，满足
，则称函数
是
上的“平均值函数”，
是它的一个均值点．例如y＝| x |是
上的“平均值函数”，0就是它的均值点．给出以下命题：

①函数
是
上的“平均值函数”．

②若
是
上的“平均值函数”，则它的均值点x0≥
．

③若函数
是
上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是
．

④若
是区间[a，b] （b＞a≥1）上的“平均值函数”，
是它的一个均值点，则
．

其中的真命题有 ．（写出所有真命题的序号）

二、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. （本小题满分10分）已知a是常数，对任意实数x，不等式|x+1|﹣|2﹣x|≤a≤|x+1|+|2﹣x|都成立．

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）设m＞n＞0，求证：2m+
≥2n+a．

18．（本小题满分12分）函数
，
（其中
，
，
）的图象与
轴相邻两个交点之间的距离为
，且图象上一个最低点为
．

（Ⅰ）求
的解析式；

（Ⅱ）求
的单调递增区间；

（Ⅲ）当
时，求
的值域．

（本小题满分12分）已知函数
．(1)当
时，求f(x)的最大值和最小值，并求使函数取得最值的x的值；(2) 求
的取值范围，使得f(x)在区间
上是单调函数．

20. （本小题满分12分）现有甲、乙、丙三人参加某电视台应聘节目《非你莫属》，若甲应聘成功的概率为
，乙、丙应聘成功的概率均为
，且三个人是否应聘成功是相互独立的.

(1)若乙、丙有且只有一个人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率，求
的值；

(2)记应聘成功的人数为
，若当且仅当
为2时概率最大，求
的取值范围.

21．（本小题满分12分）已知函数
，其中

（1）判别函数
的奇偶性；

（2）判断并证明函数
在
上单调性；

（3）是否存在这样的负实数
，使
对一切
恒成立，

若存在，试求出k取值的集合；若不存在，说明理由．

22.（本小题满分12分）已知
（
），
，其中
是自然对数的底数，
．

（1）当
时，求函数
的单调区间和极值；

（2）求证：当
时，
；

（3）是否存在实数
，使
的最小值是
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．

余江一中2016届高三第二次模拟考试数学（理科）

参考答案

一．1-5 D B C A B 6-10 C A C B A 11-12 C B

二．13.
14. 31

15.
16. ①③④

三． 17.（Ⅰ）解：|x+1|﹣|2﹣x|≤|x+1+2﹣x|=3，

3=|x+1+2﹣x|≤|x+1|+|2﹣x|............................4分

∵对任意实数x，不等式|x+1|﹣|2﹣x|≤a≤|x+1|+|2﹣x|都成立，

∴a=3； ……………………………………………………………………………………5分

（Ⅱ）证明：2m+
﹣2n=（m﹣n）+（m﹣n）+
，.…………7分

∵m＞n＞0，

∴（m﹣n）+（m﹣n）+
≥3
=3，

∴2m+
﹣2n≥3，……………………………………………………………9分

即2m+
≥2n+a．……………………………………………………………10分

18.解析：（Ⅰ）两交点之间距离为
且图象上最低点

，…………………………………………………………2分

将点
代入

解得
∴
............................................4分

（Ⅱ）∵函数

∴
……………………………………………………6分

解得
，

∴
的单调递增区间为
，
…………………………8分

（Ⅲ）∵

∴
……………………………………………………………9分

即

∴
，
值域为
…………………………………………………12分

19.解析： (1) 当
时，
=
……2分∵
∴当x=
时，f(x)取到最小值
当x=
时，f(x)取到最大值
………5分(2)函数
图象的对称轴为直线x=
当
≤
，即
≥
，即
时，函数f(x)在区间
上是增函数；……………………………………………………………………………7分当

<
，即
，即0≤
<
或
<
<
或
≤
时，f(x)在区间
上为减函数，在
上为增函数； ………………………………………………………………………………9分当
≥
，即
≤
，即
≤
≤
时，函数f(x)在区间
上是减函数。………………………………………………………………………11分综上：当
或
≤
≤
时，函数f(x)在区间
上是单调函数。……………………………………………………………………………12分

20.解析：（1）由题意得
，解得
……………………………………………3分

（2）
的所有可能取值为
………………………………………………………………………………4分

………………………………………………………………5分

…………………….6分

……………………………………….7分

………………………………………………………………………………………………..8分

故分布列为
























………………………………………………………………………………………………………………………10分

由题意得：
，
，

，又因为
，所以解得
的取值范围为

……………………………………………………………………………………………………………………12分

21.解析（1）

是奇函数．…3分

（2）任取

…………………………………………4分

……………………………………5分

是
上的减函数；………………………………………………………….7分

（3）

是
上的减函数

..8

令

……………..9分

同理：由

得：
…………………………10分

由

得：
………………………….11分

即综上所得：
所以存在这样的k其范围为
…………….12分

22.解析：（1）∵ f（x）=x-lnx，∴
，
…………………1分

由
得1

∴
的单调递减区间为
，单调递增区间为（1，e）；…………………………2分

∴
的极小值为
． …………………………………………………………3分

（2）由（1）知
的极小值为1，也就是
在
上的最小值为1，

令h（x）=
=
，
，…………………………………4分

当0

∴ h（x）max= h（e）=
．

∵
与
不同时取到，

∴
即
……………………………………………………7分

（3）假设存在实数m，使f（x）=mx-lnx（x∈
）有最小值2，

．…………………………………………………………………8分

当m≤0时，f（x）在
上单调递减，

min=f（e）=me-1=2，解得m=
，舍去．............................9分

②当0<

所以min=f（
）=1+lnm=2，解得m=e，满足条件．……………………………10分

③当
≥e时，因为f（x）在
上单调递减，

所以min=f（e）=me-1=2，解得m=
，不满足
≥e，舍去．……………………11分

综上，存在实数m=e，使得当x∈
时f（x）有最小值2．………….…………12分

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