江苏省清江中学2016届高三10月月考

数学试题

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）

1、若集合
，集合
，则
．

2、命题“
，
”的否定是“ ”．

3、函数
的最小正周期为 ．

4、若幂函数
（
）的图象过点
，则
．

5、若等差数列
满足
，
，则
．

6、若
，
均为单位向量，且
，则
，
的夹角大小为 ．

7、若函数
是奇函数，则
．

8、已知点
是函数
（
）图象上一点，则曲线
在点
处的切线斜率的最小值为 ．

9、已知函数
，若
，则实数
的取值范围是 ．

10、在
中，
，
，
分别为角
，
，
的对边，若
，
，
，则
．

11、若直线

被圆
截得的弦长为
，则
．

12、已知正实数
，
，
满足
，则
的最小值为 ．

13、已知
，
均为等比数列，其前
项和分别为
，
，若对任意的
，总有
，则
．

14、设点
，
，
分别在函数
，
，
的图象上，且
，则点
横坐标的取值范围为 ．

二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

15、（本小题满分14分）已知
．

若
，求
的最大值及对应的
的值；

若
，
（
），求
的值．

16、（本小题满分14分）已知三棱锥
中，
平面
，
，
为
中点，
为
的中点．

求证：
平面
；

求证：平面
平面
．

17、（本小题满分14分）清中校园生活区内建有一块矩形休闲区域
，
米，
米，为了便于学生平时休闲散步，学校后勤部门将在这块区域内铺设三条小路
、
和
，考虑到学校的整体规划，要求
是
的中点，点
在边
上，点
在边
上，且
，如图所示．

设
，试将
的周长
表示成
的函数关系式，并求定义域；

经核算，三条路每米铺设费用均为
元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用．

18、（本小题满分16分）如图，椭圆的中心在原点
，已知右准线
的方程为
，右焦点
到它的距离为
．

求椭圆的标准方程；

设圆
经过点
，且被直线
截得的弦长为
，求使
长最小时圆
的方程．

19、（本小题满分16分）已知数列
中，
，且点
（
）在直线
上．

求数列
的通项公式；

若函数
（
，且
），求函数
的最小值；

设
，
表示数列
的前
项和，试问：是否存在关于
的整式
，使得
对于一切不小于
的自然数
恒成立？若存在，写出
的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．

20、（本小题满分16分）已知函数
，
（
）．

若
，求函数
在
处的切线方程；

设函数
，求函数
的单调区间；

若在
（
）上存在一点
，使得
成立，求
的取值范围．

江苏省清江中学2016届高三10月月考

数学试题参考答案

一、填空题

1、
2、
，
3、
4、
5、

6、
7、
8、
9、
10、

11、
12、
13、
14、

二、解答题

解：（1）当a=1时，f（x）=x﹣lnx，
，（2分）

，

所以函数
在
处的切线方程是

即
（4分）

（2）
，

（6分）

①当a+1＞0时，即a＞﹣1时，在（0，1+a）上h'（x）＜0，在（1+a，+∞）上h'（x）＞0，

所以h（x）在（0，1+a）上单调递减，在（1+a，+∞）上单调递增；（8分）

②当1+a≤0，即a≤﹣1时，在（0，+∞）上h'（x）＞0，

所以，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增．（10分）

（3）在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）＜0，

即函数
在[1，e]上的最小值小于零．（11分）

由（2）可知

①即1+a≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减，

所以h（x）的最小值为h（e），

由
可得
，

因为
，

所以
；（13分）

②当1+a≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，

所以h（x）最小值为h（1），由h（1）=1+1+a＜0可得a＜﹣2；（14分）

③当1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1时，可得h（x）最小值为h（1+a），

因为0＜ln（1+a）＜1，

所以，0＜aln（1+a）＜a

故h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）＞2

此时，h（1+a）＜0不成立．（15分）

综上讨论可得所求a的范围是：
或a＜﹣2．（16分）

欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org