2016届高三年级第一次四校联考文科数学试题

(考试时间120分钟 满分150分)

一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号. )

1. 已知集合
，则
=

A．
B．
C．
D．

2. 已知
，已知向量且
，则
=

A．
B．
C．
D．

3. 若复数
满足
，则复数
的共轭复数在复平面上所对应点在

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4. 从(40,30)， (50,10)， (20,30) ， (45,5) ， (10,10)这5个点中任取一个点，这个点在圆

内部的概率是

A．
B．
C．
D．

5. 已知双曲线的渐近线方程为
，且经过点
，则双曲线的标准方程是A．
B．
C．
D．

6. 各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高是2，体积是16，则这个球的表面积是

A．
B．
C．
D．

7. 设等差数列
的公差是
，其前项和是
，若
，则
的最小值是

A．
B．
C．
D．

8. 已知
，函数
的图像经过点
，则
的最小值为

A．
B．6 C．
D．8

9. 对一名学生数学成绩统计了8次，第
次统计得到的数据为
，具体如下表所示：

1

2

3

4

5

6

7

8





100

101

103

103

104

106

107

108



在对上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图

(其中
是这8个数据的平均数)，则输出的
的值是

A．9 B．8 C． 7 D．6

10. 对任意的实数
都有
若
的图像

关于
对称，且
则

A．0 B．2 C． 3 D．4

11. 一个几何体的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图是边长为2

的正三角形，且圆与三角形内切，则侧视图的面积为

A．6＋
　 B．4＋
C．6＋4
　　 D．4＋4

12. 函数
若方程
有且只有两个不等的实数根，则实数
的取值范围为

A．(-∞,0) 　　B．[0,1) 　 C．(-∞,1) 　D．[0,+∞)

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 函数
的图象在
处的切线方程为 ▲ .

14. 若
满足约束条件
则
的最大值为 ▲ .

15. 已知抛物线
的准线与圆
相切，则
的值为 ▲ .

16. 函数
=
的图象的一条对称轴是
，则

的初相是 ▲ .

三、解答题(本大题共8小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )

17. (本小题满分12分)

在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a＝，b＋c＝5，且

4sin2 －cos2A＝.

(Ⅰ)求角
的大小； (Ⅱ)求△ABC的面积．

18. (本小题满分12分)

已知在四棱锥
中，四边形
是菱形，
平面
,
为
的中点，
为
上一动点.

(Ⅰ)求证：
；

(Ⅱ)当

平面
时，求四棱锥
的体积.

19. (本小题满分12分)

(Ⅰ)如图所示是某市最近5年个人年平均收入表节选. 求
关于
的回归直线方程，并估计第6年此市的个人年平均收入（保留三位有效数字）.

年份x

1

2

3

4

5



收入y(千元)

21

24

27

29

31





（Ⅱ）下表是从调查某行业个人平均收入与接受专业培训时间关系得到
列联表：

受培时间一年以上

受培时间不足一年





收入不低于平均值

60

20





收入低于平均值

10

10











100



完成上表，并回答：是否有
以上的把握认为“收入与接受培训时间有关系”．

0.50

0.40

0.10

0.05

0．01

0．005





0.455

0.708

2.706

3.841

6.635

7.879



附2：

20. (本小题满分12分)

已知椭圆
满足：过椭圆
的右焦点
且经过短轴端点的直线的倾斜角为
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设
为坐标原点，若点
在直线
上，点
在椭圆
上，且
，求线段
长度的最小值.

21. (本小题满分12分)

已知函数
其中

（Ⅰ）求
的单调区间；

（Ⅱ）若在
上存在
，使得
成立，求
的取值范围.

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一个计分.

22. (本小题满分10分)选修4—1几何证明选讲

如图，过圆外一点P的直线交圆O于A、B两点，PE是圆
的切线，CP平分

∠
，分别与AE、BE交于点
.

求证：（Ⅰ）
； （Ⅱ）

23. (本小题满分10分)选修4─4：坐标系与参数方程选讲

设平面直角坐标系原点与极坐标极点重合，
轴正半轴与极轴

重合，若已知曲线C的极坐标方程为
，点F1、F2为其左、右焦点，直线
的参数方程为
(
为参数，
).

（Ⅰ）求曲线C的标准方程和直线
的普通方程；

（Ⅱ）若点P为曲线C上的动点，求点P到直线
的最大距离.

24. (本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

设函数

(Ⅰ)求不等式
的解集;

(Ⅱ)若
的定义域为
，求实数
的取值范围.

2016届高三四校第一次联考文科数学试题参考答案

一、选择题

CABBC BADCB AC

二、填空题

13.
14.
15.
16.

三、解答题

17. 解:　(1)∵A＋B＋C＝180°，∴4sin2－cos2A＝.∴4cos2－cos2A＝，

∴4·－(2cos2A－1)＝， ………………4分

∴4cos2A－4cosA＋1＝0，解得cosA＝，

∵0°

(2)∵a2＝b2＋c2－2bccosA，

∴7＝(b＋c)2－3bc，解得bc＝6. ………………10分

∴S△ABC＝bcsinA＝×6×＝ ………………12分

18. 1）证明：

又

，

………………3分

又

………………6分

(2) 解：设

又

//

连结
,则
//
,

………………8分

又
………………10分

………………12分

19. 解：（1）依题意得

………………4分

………………6分

（2）

受培时间一年以上

受培时间不足一年





收入不低于平均值

60

20

80



收入低于平均值

10

10

20





70

30

100



………………8分

………………10分

由表得，有
的把握认为两者有关系. ………………12分

20.（1）解：（1）设椭圆的短轴端点为
（若为上端点则倾斜角为钝角），则过右焦点与短轴端点的直线的斜率

………………4分

（2）设点
的坐标分别为
，其中

,即就是
，………………6分

解得
. 又

……10分

且当
时等号成立，所以
长度的最小值为
………………12分

21. 解：(1).
………………2分

当
时，在
上

在
上单调递增；………………4分

当
时，在
上
；在
上
；所以
在
上单调递减，在
上单调递增.

综上所述，当
时，
的单调递增区间为
；当
时，
的单调递减区间为
，单调递增区间为
.………………6分

(2) 若在
上存在
，使得
成立，则
在
上的最小值小于0.……………