莱芜一中2013级高三上学期第一次摸底考试

数学（文科）试卷

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，将答题卡交回.

1. 答题前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米的黑色签字笔（中性笔）将自己的姓名、座号、准考证号和科类填写在自己的答题卡和试卷规定的位置上.

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题纸各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

4. 填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

第Ⅰ卷 (选择题 共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

(1)若集合
，
，则
（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

(2)复数
（ ）

(A)
(B)
(C)12-13
(D) 12+13

(3) 已知
为第四象限角，
，则
=（ ）

(A)
（B）
(C)
(D)

(4)已知向量a，b，且|a|＝1，|b|＝2，则|2b－a|的取值范围是(　　)

(A)[1，3] (B)[2，4] (C)[3，5] (D)[4，6]

(5)为了得到函数
的图象，可以将函数
的图象（ ）

(A) 向左平移
(B) 向左平移
(C) 向右平移
(D) 向右平移

(6)已知
是函数
=
+
的一个零点.若
，
，则（ ）

（A）

（B）

（C）

（D）

(7)某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（ ）

(A)
(B)
(C)
(D)

(8) 下列命题中，真命题是 (　　)

(A)存在
，使
(B)存在
，使

(C)存在
，使
(D)对任意
，均有

(9) 由数据
求得线性回归方程
，
满足线性回归方程
”是“
的 (　　)

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件

(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

(10)设函数
（
，
为自然对数的底数）.若存在
使
成立，则
的取值范围是（ ）

(A)
(B)
(C)
(D)

第Ⅱ卷 （ 非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.

(11)在△ABC中，若
= 1，
=
，
，则
= .

(12)执行如图程序框图,如果输入的
均为2,则输出的S= .

(13)若变量
满足约束条件
，且
的最小值为－6，则
.

(14)已知
是R上的奇函数，
=2，且对任意
都有
成立，则
.

(15) 点
在正方体
的面对角线
上运动，给出下列四个命题：

①三棱锥
的体积不变； ②
∥平面
；③
⊥
；

④平面
⊥平面
.其中正确的命题序号是 ．

三.解答题 :本大题共6小题，共75分.

组号

分组

频数

频率



第1组

[75,90]

5

0.05



第2组

（90,105]

①

0.35



第3组

（105,120]

30

②



第4组

（120,135]

20

0.20



第5组

（135,150]

10

0.10



合计

100

1.00



(16) (本小题满分12分)

某高中在一次数学考试中随机抽取100名学生的成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示

(Ⅰ)求出频率分布表中①、②位置相应的数据；

(Ⅱ)为了能选拔出最优秀的学生参加数学竞赛，学校决定在成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮测试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮测试？

(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生进行抽查，求第4组至少有一名学生被抽查的概率？

（17）(本小题满分12分)

已知函数
.

（I）求函数
的最小正周期和单调递增区间；

(Ⅱ)若关于
的方程
在
上有解，求实数
的取值范围.

(18) (本小题满分12分)

已知函数
图像上的点
处的切线方程为
．

（I）若函数
在
时有极值，求
的表达式；

(Ⅱ)若函数
在区间
上单调递增，求实数
的取值范围．

（19）(本小题满分12分)

如图，在四棱锥
中，底面
是菱形，
⊥平面
,
分别为
的中点．

（I）证明：直线
∥平面
；
 (Ⅱ)证明：平面
⊥平面
．

（20）（本小题满分13分）

已知等差数列
的公差
，它的前
项和为
，若
，且
成等比数列.

（I）求数列
的通项公式；

（II）设数列
的前
项和为
，求证：
.

（本小题满分14分）

已知函数
.（
）

（Ⅰ）当
时，求
在区间[
，e]上的最大值和最小值；

（Ⅱ）若在区间（1，+∞）上，函数
的图象恒在直线
下方，求
的取值范围．

(Ⅲ)设
，
.当
时，若对于任意
，存在
，使
,求实数
的取值范围.

文科数学参考答案

(1)【答案】C．

【解析】将集合
化简得,
,
,所以

.

【考点】本题主要考查集合与集合的运算,简单二次不等式的解法以及函数的值域问题.

(2)【答案】A．

【解析】



.

【考点】本题考查复数的基本运算.

(3)【答案】D．

【解析】选D. 由
两边平方得到
，因为α为第四象限角，所以
，
，所以

【考点】本题考查三角函数中的二倍角公式的运用，解决本题先利用平方得到二倍角的正弦值，然后利用二倍角的余弦公式，将所求问题转化为单角的正弦值和余弦值问题.

(4)【答案】C．

【解析】|2b－a|＝＝∈[3，5]．故选C.

【考点】本题考查向量的数量积的运算及性质．

(5)【答案】D．

【解析】法一：
，由

得，

即

将函数
的图象向右平移
得到函数
的图象

法二：

将函数
的图象向右平移
得到函数
的图象

【考点】本题考查了三角函数的诱导公式、图象平移变换的知识.

(6)【答案】B．

【解析】因为函数
与
在
上都为增函数，所以
=
+
在
上单调递增，因为
，
，所以

.

【考点】本题考查了函数
的单调性的应用和函数零点的概念.

(7)【答案】C．

【解析】由三视图可知，原几何体是一个长方体和一个三棱柱的组合体，如图所示：

所以其体积为
，故选C.

【考点】此题考查三视图还原几何体及柱体的体积计算.

(8) 【答案】D．

【解析】　选项A中，


，命题为假；选项B中，令

，则当
时，
，即
，故不存在
，使
，命题为假；选项C时，
，命题为假；选项D时，

，令
，求导得
，
是增函数，则对任意

，命题D为真．

【考点】本题主要考查三角函数的概念、公式与简单性质，导数，方程与不等式等知识．

(9) 【答案】B．

【解析】因为
为这10组数据的平均值，又因为回归直线
必过样本中心点
，因此
一定满足线性回归方程，但坐标满足线性回归方程的点不一定是
．

【考点】此题考查样本数据的平均值、线性回归方程，及充分、必要条件的概念.

(10)【答案】A．

【解析】由题
，并且
可得
，即
，整理得
，即
，
，利用导数可以知道函数

在
上单调递增，从而求得
的取值范围是
，故选A.

【考点】本题考查抽象函数的理解，关键是存在
使
成立，将这一条件进行转化为
，利用函数与方程思想进行求解即可.

(11)【答案】2

【解析】由余弦定理得，
，即
，解得
或

（舍）.

【考点】本题考查利用三角形中的余弦定理或利用正弦定理求解.

(12) 【答案】7

【解析】 若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=
×2＝2，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=
×2＝2，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7.

【考点】本题考查考生的读图、试图运行能力.

(13)【答案】

【解析】如图，画出可行域，
，
，

当
运动到过点
时，目标函数取得最小值-6，所以
.

【考点】本题考查了简单的线性规划问题和数形结合思想.

(14)【答案】
．

【解析】在
中，令
，得
，即
.又
是R上的奇函数，故
.故
，故
是以6为周期的周期函数，从而

.

【考点】本题主要考查奇函数、周期函数的应用.

(15) 【答案】①②④

【解析】连接
交
于
，连接
交
于
，连接
，

则
∥
1.

∴
∥平面
，动点
到平面
的距离不变，

∴三棱锥
的体积不变．

又
，∴①正确．

∵平面
∥平面
，

平面
，

∴
∥平面
，②正确．

由于
不垂直于
显然③不正确；

由于
，
，
，