莱芜一中2013级高三上学期第一次摸底考试

数学（理科）试卷 2015.9

本试卷分第Ｉ卷和第II卷两部分,共4页.满分150分,考试用时120分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

注意事项：

1.答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.山东中学联盟提供。

2.第I卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答案写在试卷上无效.

3.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效.

4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

参考公式：

锥体的体积公式：
,其中
是锥体的底面积,
是锥体的高.

如果事件
互斥,那么
；如果事件A,B独立,那么
.

第Ｉ卷（共50分）

一.选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

．（原创）若复数
,(
是虚数单位),则
的共轭复数是

A．
B．
C．
D．

．（原创）设全集为
,
,
,则“
”是“
”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

．（原创）函数
的定义域为

A．
B．
C．
D．

．（改编）若实数
,
满足约束条件
,则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

．（原创）已知矩形
中,
,
,则

A．
B．
C．
D．

．（原创）
,
,则

A．
B．
C．
D．

．（原创）有下列4个命题：

两个平面垂直,过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此直线必垂直于另一平面;

平面
内两条不平行的直线都平行于另一平面
,则
;

两条直线和一个平面所成的角相等,则这两条直线平行;

直线
不平行于平面
,则平面
内不存在与直线
平行的直线.

其中正确命题的个数是

A．
B．
C．
D．

．（改编）如图，该程序框图的算法思路源于我国古代数学专著《九章算术》中的“更相减损术”,执行此程序框图,若输入的
,
分别为
,
,则输出的

A．
B．
C．
D．



第8题图

．（原创）定义在
上的函数
满足
,且当
时,
,则

A．
B．
C．
D．

（改编）设函数
的零点为
,函数
的零点为
,则

A.
,
B.
,

C.
,
D.
,

二.填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分,答案须填在答题卡题中横线上.

（改编）在等差数列
中,已知
,则
.

（原创）由曲线
与
围成的封闭图形的面积是________.

（原创）在
的展开式中,
的系数为________（用数字作答）.

（原创）
,
,
分别是
的三边,
,
,
,则
的面积是________.

（改编）观察下列等式

照此规律,

.

三．解答题：本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（原创）（本小题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）求
的单调递减区间;

（Ⅱ）将函数
的图象向左平移
个单位,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的
倍,纵坐标不变,得到函数
的图象,求函数
在
上的值域.

（改编）（本小题满分12分）

如图,三棱柱
中,
平面
,
,

,
、
分别是线段
、
的中点.

（Ⅰ）求证：
∥平面
;

（Ⅱ）求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.

（原创）（本小题满分12分）

已知数列
是递增的等比数列,
,
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式;

（Ⅱ）若
,求数列
的前
项和
.

（原创）（本小题满分12分）

中秋节吃月饼是我国的传统习俗.设有两种月饼礼盒,甲礼盒中装有2个五仁月饼,2个豆沙月饼,2个莲蓉月饼；乙礼盒中装有3个五仁月饼,3个豆沙月饼.这12个月饼外观完全相同,从中随机选取4个.

（Ⅰ）设事件
为 “选取的4个月饼中恰有2个五仁月饼,且这2个五仁月饼选自同一个礼盒”,求事件
发生的概率;

（Ⅱ）设
为选取的4个月饼中豆沙月饼的个数,求随机变量
的分布列和数学期望.

（改编）（本小题满分13分）

已知一工厂生产某种产品的年固定成本为100万元,每生产1千件需另投入27万元.设该工厂一年内生产这种产品
千件并全部销售完,每千件的销售收入为
万元,且

（Ⅰ）写出年利润
（万元）关于年产量
（千件）的函数关系式;

（Ⅱ）年产量为多少千件时,该工厂在这种产品的生产中所获得的年利润最大?

(注：年利润
年销售收入年总成本)

（原创）（本小题满分14分）

设函数
,其中
.

（Ⅰ）
时,求曲线
在点
处的切线方程;

（Ⅱ）讨论函数
的单调性;

（Ⅲ）当
时，证明对
,都有
.

数学试题（理科）评分标准

选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.

1.B 2.C 3.A 4.C 5.A 6.B 7.D 8.C 9.C 10.A

二.填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.

11. 14 12.
13. 120 14.
15.

三．解答题：本大题共6小题,共75分.

（本小题满分12分）

【解析】解法一：（Ⅰ）

………………………………….4分

由
,
, ………………………………….5分

得
,
,

所以
的单调递减区间为
,
. …………………………………6分

（Ⅱ）将
的图象向左平移
个单位,

得到

, ………………………………….7分

再将
图象上各点的横坐标伸长到原来的
倍,纵坐标不变,

得到
, ………………………………….8分

,

. ………………………………….9分

. ………………………………….11分

.

函数
在
上的值域为
. ………………………………….12分

解法二：（Ⅰ）

………………………………….4分

下同解法一.

（本小题满分12分）

【解析】解法一：（Ⅰ）连接
,交
于
,连接
、
,

四边形
为平行四边形,

为线段
的中点.

为
的中点,



. ………………………………….1分

为
的中点,


,



.

………………………………… 2分

四边形
为平行四边形.

∥
. ……………………………….3分

平面
,
平面
.

∥平面