北京市朝阳外国语学校2015-2016学年度第一次月考

高三年级 数学试卷（文科）

班级___________ 姓名____________ 成绩______________

一、选择题：（本大题共8小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 设U=R，集合
，则下列结论正确的是（ ）

A.
B.

C.
D.

2.设
，
是两个不同的平面，
是直线且
．“
”
是“
”的（ ）

充分而不必要条件　 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 　 D.既不充分也不必要条件

3. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为 (　 　)

A．1 B.

C. D.

4. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）

A.
B.
C.
D.5

等差数列
中，

，则该数列前
项之和为 （ ）

A．
B．
C．
D．

6. 已知函数
，若对任意
，都有

成立，则实数m的取值范围是 （ ）．

7. 在平面直角坐标系内，设
、
为不同的两点，直线
的方程为
，
．有四个判断：其中正确的是( )

①若
，则过
、
两点的直线与直线
平行；

②若
，则直线
经过线段
的中点；

③存在实数
，使点
在直线
上；

④若
，则点
、
在直线
的同侧，且直线
与线段
的延长线相交．

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④

8.关于曲线
，给出下列四个命题：

①曲线
关于原点对称； ②曲线
关于直线
对称 ③曲线
围成的面积大于

④曲线
围成的面积小于
上述命题中，真命题的序号为( )

A.①②③ B.①②④ C.①④ D.①③

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填写在题中的横线上．）

9.
，
为复数
的共轭复数，则
_______

10. 已知圆
：
，在圆周上随机取一点P，则P到直线
的距离大于
的概率为

11. 在
中，
则
．

12.设关于
的不等式组
表示的平面区域为
，已知点
，点
是
上的动点.
，则
的取值范围是 .

13. 已知两点
，
（
），如果在直线
上存在点
，使得
，则
的取值范围是_____．

14. 在棱长为
的正方体
中，
，
分别为线段
，
（不包括端点）上的动点，且线段
平行于平面
，则四面体
的体积的最大值是 .

解答题：（本大题共5个小题，70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

15.已知函数
．

(Ⅰ) 求
的最小正周期； (Ⅱ) 求
在区间
上的最小值．

16. 某超市随机选取
位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．

甲

乙

丙

丁





√

×

√

√





×

√

×

√





√

√

√

×





√

×

√

×





√

×

×

×





×

√

×

×





（Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率；

（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买
中商品的概率；

（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？

17. 已知等差数列
的前
项和为
，等比数列
满足
，
，
．

（Ⅰ）求数列
，
的通项公式；

（Ⅱ）如果数列
为递增数列，求数列
的前
项和
．

如图1，在梯形
中，
，
，
，四边形
是矩形. 将矩形
沿
折起到四边形
的位置，使平面
平面
，
为
的中点，如图2.

（Ⅰ）求证：
； （Ⅱ）求证：
//平面
；

（Ⅲ）判断直线
与
的位置关系,并说明理由．

19. 已知函数
.

（Ⅰ）求函数
的零点及单调区间；

（Ⅱ）求证：曲线
存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标
.

20.设F 1 ，F 2分别为椭圆
的左、右焦点，点P（1，
） 在椭圆E 上，且点P 和F1 关于点C（0，
） 对称。

（1）求椭圆E 的方程；

（2）过右焦点F2 的直线l与椭圆相交于 A，B两点，过点P且平行于 AB 的直线与椭圆交于另一点Q ，问是否存在直线l ，使得四边形PABQ的对角线互相平分？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由。

参考答案：

一、ABCCC DBD

二、9.
10.
11. 1 12.
13.
14.

三、15.

(Ⅰ)

最小正周期为

(Ⅱ)

故
最小值为

16.（Ⅰ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为
.

（Ⅱ）从统计表可以看出，在在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为
.

（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：

顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为
，

顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为
，

顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为
，

所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.

17.（Ⅰ）设等差数列
的公差为
，等比数列
的公比为
，则由题意得

．

代入得
，解得
或
（舍）．

所以
．

所以
；
或
．

（Ⅱ）因为数列
为递增数列，

所以
．

所以
，

，

相减得
，

所以
．

18.证明：（Ⅰ）因为 四边形
为矩形，

所以
.

因为 平面
平面
，且平面
平面
，

平面
，

所以
平面
.

因为
平面
，

所以
.

（Ⅱ）证明：因为 四边形
为矩形，

所以
.

因为
，
，
，

所以 平面
平面
.

因为
平面
，

所以
平面
.

（Ⅲ）直线
与
相交，理由如下：

取
的中点
，
的中点
，连接
，
，
.

所以
，且
.

在矩形
中，
为
的中点，

所以
，且
.

所以
，且
.

所以 四边形
为平行四边形.

所以
，
.

因为 四边形
为梯形，
为
的中点，
，

所以
，
.

所以 四边形
为平行四边形.

所以
，且
.

所以
且
.

所以
是平行四边形.

所以

，即

.

因为

，

所以 四边形
是以
，
为底边的梯形.

所以 直线
与
相交.

19.（Ⅰ）令
，得
.

故
的零点为
.

（
）.

令
，解得
.

当
变化时，
，
的变化情况如下表：





















↘



↗



 所以
的单调递减区间为