桂林市第十八中学2013级高三第一次月考

数学(理)

第I卷

一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.若集合
,
,则
( )

A.{1,4} B.{-1,-4} C.{0} D.φ

2.已知复数
(
为虚数单位),则等于(　　)

A.
B.
C.
D.

3.设A,B是两个集合,则
是
的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

4.在等差数列
中,已知
,则
=(　 )

A.10 B.18 C.20 D.28

5.设
,函数
,则
( )

A.
B.4 C.
D.6

6.三棱锥S-ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示,则棱SB的长为( )

A.
B.
C.
D.

7.直线
与圆
相交于A,B两点,则弦|AB|=( )

A.
B.
C.
D.

8.给出一个如图所示的流程图,若要使输入的x 值与输出的y 值相等, 则这样的x 值的个数是( )

A.1 B.2 C.3 D.4

9.点A,B,C,D均在同一球面上,且AB,AC,AD两两垂直,且AB=1,AC=2,AD=3,则该球的表面积为( )

A.
B.
C.
D.





10.函数
的图像是( )

11.已知
分别是椭圆的左,右焦点,现以
为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M,N,若过
的直线
是圆
的切线,则椭圆的离心率为( )

A.
B.
C.
D.

12.定义在
上的函数
,
是它的导函数,且恒有
成立.则( )

A.
B.

C.
D.

第II卷

二.填空题:本大题共4小题,每小题5分.

13.已知向量
,
,若存在实数
,使得
,则实数
为____.

14.已知变量
满足约束条件
,则
的最大值是_______.

15.若

，

则
.(用数字作答)

16.数列
中,
,且对所有
,满足
,则
_____.

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分12分)

如图所示,在四边形ABCD中,∠D=2∠B,且AD=1,CD=3,
.

⑴求△ACD的面积;

⑵若
,求AB的长.







18.(本小题满分12分)

某班50位学生2015届中考试数学成绩的频率直方分布图如图所示,其中成绩分组区间是:.

⑴求图中x的值;

⑵从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,这2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ,求ξ的数学期望.







19.(本小题满分12分)

已知正方体
的棱长为2,
是AC的中点,E是线段
上一点,且
.

⑴求证:
⊥AC;

⑵若平面CDE⊥平面
,求
的值,并求二面角E-CD-A的余弦值.

20.(本小题满分12分)

如图,已知点
是离心率为
的椭圆C:
(
)上的一点,斜率为
的直线BD交椭圆C于B,D两点,且A,B,D三点互不重合.

⑴求椭圆C的方程;

⑵求证:直线AB,AD的斜率之和为定值.

21.(本小题满分12分)

设函数
(
为常数).

⑴若函数
在区间

题号

13

14

15

16



答案



9

(理)2004

(文)







解析:

16.由
,得
,两式相除得
.

三.解答题

17.解：⑴因为∠D=2∠B,
,所以
.

因为
,所以
,所以△ACD的面积
.

⑵在△ACD中,
,所以
.

因为
,
,所以
,得AB=4.

18.解：⑴由30×0.006+10×0.01+10×0.054+10x=1，得x=0.018.

(理)⑵由题意知道:不低于80分的学生有12人,90分以上的学生有3人随机变量ξ的可能取值有0,1,2;

;
;
,

∴
.

ξ

0

1

2



P









(文)由题意知道成绩在[50,60)的学生有3个,分别设为
;成绩在[60,70)的学生有5个,分别设为
.随机选取两人有
,

,
,
,
,

,
,
28种情况.

2人成绩都在[60,70)的有
,
,
,
10种情况.

故概率为
.

19.解:⑴∵
,
,∴
⊥面
.

∵
面
,∴
⊥
.

(理)⑵∵AC⊥平面
,∴AC⊥DE,要使平面CDE⊥平面
,只需DE⊥平面
,即需DE⊥
,

(∵DE⊥AC,∴DE⊥平面
,由
,则
,∴在Rt△
中,
,

∴
,∴
,∴
,∴
,∴
.

以DA,DC,
分别为x,y,z轴建立直角坐标系,则D(0,0,0),C(0,2,0),O(1,1,0),
.

,设平面EDC的法向量为
,则有
,得
,

得
,令
,得
.又平面CDA的法向量为
,设E-CD-A的平面角为
,

故
.

(文)由
,则
,∴在Rt△
中,
,∴
,∴
,

∴
,∴
,∴
.

,易知
,
,

故
.

21.解：(理)⑴即
在[1,+∞)上恒成立,

即
在区间[1,+∞)上恒成立.

∵
在区间[1,+∞)上的最大值为﹣4,∴
.

(文)⑴当
时,
,
,∴
单调递增.

⑵
在区间(﹣1,+∞)上有两个不相等的实数根,

即方程
在区间(﹣1,+∞)上有两个不相等的实数根.

记
,则有
,解得
.

∴
,
,
,
.

∴
.

令
,
,只须证
.

,(观察
,
猜测
)

令
,下证

,令
,得
,
.列表得:











-

0

+





↓

极小

↑




,
,所以
,所以
,所以
在
上单调递减,所以
,故
,故
.

20.解：⑴由题意,可得
,代入
得
,又
,

解得
,
,所以椭圆C的方程
.

⑵证明:设直线BD的方程为
,又A,B,D三点不重合,∴
,设
,
,

则由
得
,所以
,

∴所以
.
,
,设直线AB,AD的斜率分别为
,
,

则
;

所以
,即直线AB,AD的斜率之和为定值.

22.⑴由
得
,得直角坐标方程为
,

即
;

⑵将
的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,化简得
,点E对应的参数
,设点A,B对应的参数分别为
,则
,
,所以
,

23.解:⑴解不等式:
,
或
或
,

得
或
或
,得
,即
.

⑵需证明:
,

只需证明
,

即需证明
.

证明:
,故
,
,所以
,所以原不等式成立.

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