饶平县凤洲中学2016届第一次月考数学（理科）试题

选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）

1. 若
，则下列不等式能成立的是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

2．若等差数列
的前
项和
且
，则
等于（ 　 　）

（A）3 （B）4 （C）
（D）

3 在△ABC中，若
，则
（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

4．若命题
的逆命题是
，命题
的逆否命题是
，则
与
的关系是（ ）

（A）互为逆否命题 （B）互为逆命题 （C）互为否命题 （D）不能确定

5. 到两坐标轴的距离之和为6的点的轨迹方程是（ ）（A）
（B）
（C）
（D）

6. 双曲线
的焦距为 （ ）

（A）16 （B）8 （C）4 （D）不确定，与
值有关

7. 若抛物线的顶点在原点，焦点是双曲线
的顶点，则抛物线的方程是（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

8. 若不等式
，则
的取值范围是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

9. 已知双曲线
，若椭圆N以M的焦点为顶点，以M的顶点为焦点，则椭圆N的准线方程是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

10. 满足不等式
的点（x，y）所在的区域应为（ ）

11. 各项均为正数的等比数列
的前n项和为Sn，若S10=2,S30=14,则S40等于（ ）

（A）80　　　（B）30 （C）26 （D）16

12. 一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于点P,直线PF
（F
为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（　 　 ）

（A）
（B）
　　　（C）
（D）

二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13． (2x+
)4的展开式中x3的系数是

14．曲线
，所围成的图形的面积可用定积分表示为__________．

15．从1=1，1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),…,推广到第
个等式为_________.

16．已知函数
，若
的单调减区间是 （0，4），则在曲线
的切线中，斜率最小的切线方程是_________________.

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）已知
，

（1）写出
图像的对称中心的坐标和单调递增区间；

（2）
三个内角
、
、
所对的边为
、
、
，若
，
．求
的最小值．

18.（本小题满分10分）某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：

若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.

（1）从这16人中随机选取3人，记
表示抽到“极幸福”的人数，求
的分布列及数学期望，并求出至多有1人是“极幸福”的概率；

（2）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记
表示抽到“极幸福”的人数，求
的数学期望．

19.（本小题满分12分）如图，菱形
与矩形
所在平面互相垂直，
．

（1）求证：
平面
；

（2）若
，当二面角
为直二面角时，求
的值；

（3）在（2）的条件下，求直线
与平面
所成的角
的正弦值．

20．（本小题满分12分）已知数列
满足：
．

（1）求证：数列
是等比数列；

（2）令
（
），如果对任意
，都有
，求实数
的取值范围．

21．（本小题满分12分）如图，过点
作抛物线
的切线
，切点
在第二象限．

（1）求切点
的纵坐标；

（2）若离心率为
的椭圆
恰好经过切点
，设切线
交椭圆的另一点为
，记切线
，
，
的斜率分别为
，
，
，若
，求椭圆方程．

（本小题满分14分）已知函数
，其中
.????

?若函数
在
上有极大值0，求
的值；

（提示：当且仅当
时，
）

（2）?讨论并求出函数
在区间
上的最大值；

（3）在（2）的条件下设
，对任意
，

证明：不等式
恒成立.

参考答案

一. 选择题（本题共60分，每小题5分）

1. B 2. A 3.C 4. C 5. C 6. B

7.D 8.A 9. B 10. B 11. B 12. D

填空题

13．24 14．

16．

三、解答题：

17.解：（1）化简得：
，………2分 对称中心为：
，……4分，单调递增区间为：
……6分（2）由（1）知：
，
，

，
，
，
，………8分

根据余弦定理：
，

当且仅当
时，
取最小值1.………12分

18.解：（1）
的可能取值为
、
、
、
，………1分

，
，

，
，………3分



1




















的分布列为

………4分

数学期望
， ………5分

至多有1人是“极幸福”记为事件
，则
.………6分

（2）解法一：
的可能取值为0、1、2、3，随机选取1人是“极幸福”的概率为

∴
；

；



1



















∴
的分布列为

数学期望

. ………10分

解法二：依题意知，随机选取1人是“极幸福”的概率为
，

故随机变量
满足二项分布
，故数学期望
.………10分

19．（1）证明：
，
，
，
平面
∥平面
，故
平面
………4分

（2）解：取
的中点
.由于
所以
，

就是二面角
的平面角．………6分

当二面角
为直二面角时，
，即
………8分

（3）几何方法：

由（2）
平面
，欲求直线
与平面
所成的角，先求
与
所成的角.……9分

连结
，设

则在
中，
，
，

……12分

（3）向量方法：

以
为原点，
为
轴、
为
轴，建立如图的直角坐标系，

设
则
，
，平面
的法向量

，……10分，
.

………12分

20．解：（1）由题可知：
①

②

②—①可得
.即：
，又
．

所以数列
是以
为首项，以
为公比的等比数列．………6分

（2）由（1）可得
，
． ………8分

由
，可得
．而由
可得
．

所以
，故
有最大值
．………10分

所以，对任意
，有
．如果对任意
，都有
，即
成立，

则
，故有：
．解得
或
．

所以，实数
的取值范围是
．………12分

21.解：（1）设切点
，且
，由切线
的斜率为
，

得
的方程为
，又点
在
上，
，即点
的纵坐标

.……4分

（2）由（1）得
，切线斜率
，

设
，切线方程为
，由
，得
，

所以椭圆方程为
，且过
，
．

由
．
， ………7分

将
，
代入得：
，所以
．

椭圆方程为
．……… 12分

22. 分析：（1）
………1分

明显，当

时，
，当

时，

故函数
在
上单调递增，在
上单调递减，………3分

因此函数
在
上有极大值

∴
，解得
………5分

（2）∵

①若
，即
，则当
时，有
，

函数
在
上单调递增，则
．………6分

②若