荆州市部分县市2014－2015学年度高三上学期期末统考

数学试卷（理科）

考试时间：2015年2月8日15∶00－17∶00

满分：15 0分 考试时间：1 2 0分钟 2015.2

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设复数
设（i为虚数单位），z的共轭复数为
，则在复平面内
对应的点的坐标为

A．（1，1） B．（-1，1） C．（1，-1） D．（-1，-1）

2．设全集U=R，A={x|x(x-2)<0}，B={x|y=ln(1-x)<0}，则图

中阴影部分表示的集合为

A．{x|0

C．{x|x≥1} D．{x|x≤1}

3．已知命题p：“
x∈[1，2]，x2-a≥0”，命题q:“
x∈R

使x2+2ax+2-a=0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是

A.
B.

C.
D.

4．函数y=sin2x+acos2x的图象左移π个单位后所得函数的图象关于直线
对称，则a=

A. 1 B.  C. -1 D. -

5．在区域
内任取一点P，则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率为

A．
B．
C．
D．

6．甲乙两人从4门课程中各选修两门，则甲乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( )种

A. 30 B. 36 C. 60 D.72

7．一个等比数列的前3项的积为2，后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列共有

A．6项 B．8项 C．10项 D．12项

8．在ΔABC中，若a=4，b=3，
，则B=

A．
B．
C．
或
D．

9．过双曲线
=1(a>0，b>0)的左焦点F(-c，0)作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，O为原点，若|FE|=|EP|，则双曲线离心率为

A．
B．
C．
D．

10．定义函数
=
则函数
在区间
内的所有零点的和为

A．n B．2n C．
D．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，考生共需作答5题，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，横棱两可均不得分．

（一）必考题（11-14题）

11．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其频率分布直方图如图所示.若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为 .

12．已知集合A={x|x=2k，k∈N*}，如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值x= .

13．已知不等式
的解集为
，点
在直线
上，其中
，则
的最小值为 .

14．当n为正整数时，定义函数N（n）表示n的最大奇因数，如N（3）=3，N（10）=5，记S（n）=N（1）+N（2）+ N（3）…+N
则（1）S（4）= ； （2）S（n）= .

（二）选考题：请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．

15.（几何选讲选做题）以Rt⊿ABC的直角边AB为直径作圆O，圆O与斜边AC交于D，过D作圆O的切线与BC交于E，若BC=6，AB=8，则OE= .

16.（坐标系与参数方程选做题）已知直线的极坐标方程为

，则点A(2，
)到这条直线的距离为 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）设函数
.

（1）求函数f(x)的最大值和最小正周期；

（2）设A、B、C为⊿ABC的三个内角，若
，
，且C为锐角，求sinA.

18．（本小题满分12分）设等差数列
的前n项和为
，且
，

（1）求数列
的通项公式；

（2）设数列
满足

求
的前n项和
.

19．（本小题满分12分）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4；从盒中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）.

（1）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；

（2）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值为X，求随机变量X的分布和数学期望.

20．（本小题满分12分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示（转下页），其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.

（1）求证：BN
；

（2）设
为直线
与平面
所成的角，求
的值；

（3）设M为AB中点，在BC边上求一点P，使MP//平面CNB1 ，求
．

（第20题图）

21．（本小题满分13分）某公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交
元的管理费，预计每件产品的售价为
元时，一年的销售量为
万件.

（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；

（2）当每件产品售价为多少元时，分公司一年的利润L最大并求出L的最大值Q（a）.

22．（本小题满分14分）已知f(x)=ex-t(x+1).

（1）若f(x)≥0对一切正实数x恒成立，求t的取值范围；

（2）设
，且A(x1，y1)、B(x2，y2)(x1≠x2)是曲线y=g(x)上任意两点，若对任意的t≤-1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围；

（3）求证：
(n∈N*).

荆州市部分县市2014－2015学年度高三上学期期末统考

数学（理科）参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

B

D

C

C

A

D

A

A

D



二、填空题

11. 20 12. 11 13 . 9 14. 86

15 5 16

三 解答题

17 【解】（1）

.………3′

∴当
，即
(k∈Z)时，
，………4′

f(x)的最小正周期
，………5′

故函数f(x)的最大值为
，最小正周期为π. ………6′

（2）由
，即
，解得
。

又C为锐角，∴
. ………8′∵
，∴
.

∴

. ………12′

18、解（1）设等差数列
的前项为
，公差为d，由
得

解得
因此

…………………………………………5分

（2）已知

当n=1时，

当
时，

由（1）知

……………………………………（9分）

又

则

两式减得：

···························（12分）

19、（1）设“取出”的4张一次卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，则

取出的4张卡片中含有编号为3的卡片的概率为
········（5分）

（2）随机变X的所有可能取值为1、2、3、4

随机变量分布列是：

X

1

2

3

4



P











 ········（10分）

············（12）分

20解：（1）证明∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，∴BA，BC，BB1两两垂直……………2分

以BA，BC，BB1分别为
轴建立空间直角坐标系，则N（4,4,0），B1（0, 8,0），C1（0,8,4），C（0,0,4∵
=（4,4,0）·（-4,4,0）=-16+16=0，
=（4,4,0）·（0,0,4）=0

∴BN⊥NB1，BN⊥B1C1且NB1与B1C1相交于B1，∴BN⊥平面C1B1N；--------------4分

（2）设
为平面
的一个法向量，

则

则
-----------------8分

（3）∵M（2,0,0）．设P(0,0,a)为BC上一点,则
, ∵MP//平面CNB1,

∴

又
,∴当PB=1时MP//平面CNB1
-------12分

21、解（1）

（2）

令
又

，而

当
时，

在
上是减函数

当
时，

时，

在
上是增函数.

时，

在
上是减函数.

综上：

22、【解】（1）
(x>0)恒成立。

设
(x≥0)，则

∴
在
单调递增，
（x=1时取等号），∴t≤1………4′

（2）设x1、x2是任意的两实数，且x1

，故

设
，则F(x)在R上单增，………7′

即
恒成立。

即对任意的t≤-1，x∈R，
恒成立。

而

故m<3………9′

（3）由（1）知，

取
，则

∴
(n∈N*)………14′
（14）

欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org