云南省部分名校高2015届1月份统一考试理科数学试卷

命题 昆明三中高三年级数学备课组

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）

1.已知i为虚数单位，复数z满足iz=1+i，则
（ ）

A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i

2．集合
，
，若
，则实数的取值范围是（ ）

A．

3.下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在
上单调递增的函数是（ ）

A.
B.
C.
D.

4.已知向量
，其中
，且
，则向量
与
的夹角是（ ）

A．
B.
C.
D.

5．执行如图所示的程序框图,输出的S值为
时，则输入的
的值为（ ）

A.
B.

C.
D.

6. 实数x，y，k满足
，
，若的最大值为
，则
的值为（ ）

A． B． C．
D．

7. 已知函数①
,②
,则下列结论正确的是(　　)

A．两个函数的图象均关于点
成中心对称图形.

B．两个函数的图象均关于直线
成轴对称图形.

C．两个函数在区间
上都是单调递增函数.

D．两个函数的最小正周期相同.

8.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为
,若△ABC的面积为,且
, 则
等于 （ ）

A.

B.
C.
D.

9.已知P是△ABC所在平面内一点，
，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是 （ ）

A.
B.
C.
D.

10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ）

A.
B.
C.
D.60

11.抛物线
（＞
）的焦点为，已知点、为抛物线上的两个动点，且满足
.过弦
的中点
作抛物线准线的垂线
，垂足为
，则
的最大值为 ( )

A.
B. 1 C.
D. 2

12.已知函数
满足
, 当
时,
,若在区间
内,曲线
与轴有三个不同的交点,则实数的取值范围是 ( )

A.
B.
C.
D.

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上）

13.已知
,那么
展开式中含
项的系数为________________.

14.已知圆
,直线
上动点,过点作圆
的一条切线,切点为,则
的最小值为_________.

15．观察下列等式：
根据上述规律，第个等式为 .

16．表面积为
的球面上有四点S、A、B、C，且
是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为
，若平面
平面
,则棱锥
体积的最大值为 .

三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. （本小题满分12分）

已知数列
的前项和
和通项
满足
,数列
中，
,
.

（Ⅰ）求数列
,
的通项公式；

（Ⅱ）数列
满足
，求证：
.

18. （本小题满分12分）

云南省2014年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布
.现从我校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组 [157.5，162.5]，第二组[162.5，167.5]，…，第6组[182.5，187.5]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

（Ⅰ）试评估我校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况；

（Ⅱ）求这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5 cm）的人数；

（Ⅲ）在这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5 cm）的人中任意抽取2人，该2人

中身高排名（从高到低）在全省前130名的人数记为
，求
的数学期望．

参考数据：

若
．则

=0.6826，

=0.9544,

=0.9974.

19．（本小题满分12分）

如图，在三棱柱
中，已知
，
，
，
.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）设
(
)，且平面
与
所成的锐二面角的大小为
，试求
的值.

20．（本小题满分12分）

如图，已知椭E:
的离心率为
，且过点
，四边形ABCD的顶点在椭圆E上，且对角线AC，BD过原点O，
.

（Ⅰ）求
的取值范围；

（Ⅱ）求证：四边形ABCD的面积为定值.

21．（本小题满分12分）

已知函数
.

（Ⅰ）若函数
在
上是减函数，求实数a的最小值；

（Ⅱ）若
，使
成立，求实数a的取值范围.

请考生在第23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.

23. （本小题满分10分）

在平面直角坐标系
中，直线
的参数方程为
，以O为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ.

（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程及直线
的普通方程；

（Ⅱ）将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的
，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线C1，求曲线C1上的点到直线
的距离的最小值.

24. （本小题满分10分）

已知函数
．

（Ⅰ）当
时，求函数
的定义域；

（Ⅱ）若关于的不等式
的解集是，求的取值范围.

云南省部分名校高2015届1月份统一考试

理科数学参考答案

1-4 ADCB 5-8 DBCC 9-12 DAAC

13.135 14.2 15.
16. 27

17.解.（Ⅰ）由
，得

当
时，

即
（由题意可知
）

是公比为
的等比数列，而

，

由
，得

（2）
，设
，则

由错位相减，化简得：

18.解：（Ⅰ）由直方图，经过计算我校高三年级男生平均身高为

高于全市的平均值170.5（4分）

（Ⅱ）由频率分布直方图知，后两组频率为0.2，人数为0.2×50＝10，即这50名男生身高在177.5cm以上(含177.5 cm)的人数为10人. ……………（6分）

（Ⅲ）
，

，0.0013×100 000=130.

所以，全省前130名的身高在182.5 cm以上，这50人中182.5 cm以上的有5人.

随机变量
可取
，于是

,
,

. ………………………………（12分）

19．解：（Ⅰ）因为侧面
,

侧面
，故
,在
中,

由余弦定理得：

，

所以
， 故
,所以
,而

，
平面

（2）由（Ⅰ）可知，
两两垂直.以为原点，
所在直线为

轴建立空间直角坐标系.

则
.

所以
,所以
,

则
，
. 设平面
的法向量为
，

则
,
，

令
，则
，
是平面
的一个法

向量.

平面
,
是平面
的一个法向量，

.

两边平方并化简得
，所以
或
（舍去）

20．解：（Ⅰ）

当直线AB的斜率存在时，设

由

.………………..4分

.

………………..6分

，

所以
的范围是
.………………..8分

………………..10分

………………..12分

21．（Ⅰ）因
在
上为减函数，故
在
上恒成立．

所以当
时，
．

又
，

故当
，即
时，
，

所以
，故

所以的最小值为
.

（Ⅱ）“若
，使
成立”等价于

当
时，有
，

当
时，有
，

问题等价于：“当
时，有
”

①当
时，
在
上为减函数.

则
，故
.

②当
时，由于
在
上为增函数，

故
的值域为
，即
．

由
的单调性和值域知，存在唯一
，使
，且满足：

当
时，
为减函数；

当
时，
为增函数；

所以
，
．

所以
，与
矛盾，不合题意．

综上，

23.解：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为：

即：

直线
的普通方程为
4分

（2）将曲线C上的所有点的横坐标缩为原来的
，得

即

再将所得曲线向左平移1个单位，得
：

又曲线
的参数方程为
（
为参数），设曲线
上任一点

则
（其中
）

点到直线
的距离的最小值为
.

24.

对值不等式的性质得解。