云南省部分名校高2015届1月份统一考试文科数学试卷

命题 昆明三中高三年级数学备课组

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．集合
，
，若
，则实数的取值范围是（ ）

A.
B．
C.
D．

2.已知为虚数单位，复数满足
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3.下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在
上单调递增的函数是( )

A.
B.
C.
D.

4.已知向量
，其中
，且
，则向量
与
的夹角是（ ）

A．
B.
C.
D.

5．执行如图所示的程序框图,输出的S值为
时，则输入的
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

6. 设 a＞b＞1，
，给出下列三个结论： o

＞
；②
＜
； ③
，

其中所有的正确结论的序号是 （ ）.

A．① B.① ② C.② ③ D.①②③

7.已知函数①
,②
,则下列结论正确的是(　　)

A．两个函数的图象均关于点
成中心对称图形

B．两个函数的图象均关于直线
成轴对称图形

C．两个函数在区间
上都是单调递增函数

D．两个函数的最小正周期相同

8.已知是
所在平面内一点，
，现将一粒黄豆随机撒在
内，则黄豆落在
内的概率是 （ ）

A.
B.
C.
D.

9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ）

A.
B.
C.
D.

10.在
中，内角
的对边分别为
,若
的面积为,且
, 则
等于（ ）

A.

B.
C.
D.

11．定义在R上的函数
满足
，
，且
时
，则
= （ ）

A.
B.
C. D.

12.抛物线
（＞
）的焦点为，已知点、为抛物线上的两个动点，且满足
.过弦
的中点
作抛物线准线的垂线
，垂足为
，则
的最大值为 ( )

A.
B. 1 C.
D. 2

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上）

13.设
，其中实数
满足
， 则的取值范围是_______.

14.已知圆
,直线
上动点,过点作圆
的一条切线,切点为,则
的最小值为_________.

15．观察下列等式：
根据上述规律，第个等式为

16．表面积为
的球面上有四点
且
是等边三角形，球心
到平面
的距离为
，若平面
平面
,则棱锥
体积的最大值为 .

三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. （本小题满分12分）

已知数列
的前项和
和通项
满足
,数列
中，

,
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）数列
满足
，求
的前项和
.

18．（本小题满分12分）

云南省2014年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的平均身高为170.5cm.现从我校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组 [157.5，162.5]，第二组[162.5，167.5]，…，第6组[182.5，187.5]，

下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

（1）试评估我校高三年级男生在全省高中男生中

的平均身高状况；

（2）已知我校这50名男生中身高排名（从高到低）

在全省前100名有2人，现从身高在182.5 cm以上

（含182.5 cm）的人中任意抽取2人，求该2人中

至少有1人身高排名（从高到低）在全省前100名

的概率

19．（本小题满分12分）

如图，
为圆
的直径，点
在圆
上，且
∥
，矩形
所在的平面和圆
所在的平面互相垂直，且
,

（1）求证：平面
⊥平面
．

（2）在线段
上是否存在一点
，使得
∥平面
，并说明理由．

20．（本小题满分12分）

如图，已知椭圆:
的离心率为
，且过点
，四边形
的顶点在椭圆上，且对角线
过原点
，
。

（1）求
的取值范围；

（2）求证：四边形
的面积为定值.

21.（本小题满分12分）

已知函数
在点
处的切线与轴平行．

（1）求实数的值及
的极值；

（2）如果对任意
，有
，求实数的取值范围．

请考生在第23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.

选修4-4：坐标系与参数方程

23. （本小题满分10分）

在平面直角坐标系
中，直线
的参数方程为
，若以O为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为
.

（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程及直线
的普通方程；

（Ⅱ）将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的
，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线C1，求曲线C1上的点到直线
的距离的最小值.

24. （本小题满分10分）

已知函数
．

（Ⅰ）当
时，求函数
的定义域；

（Ⅱ）若关于的不等式
的解集是，求的取值范围.

云南省部分名校高2015届1月份统一考试

文科数学答案

1.D 2.A 3.C 4.B 5.D 6.D 7.C 8.D 9.A 10.C 11.A 12.A

13.
14. 2 15.
16.27

17.解.（Ⅰ）由
，得

当
时，

即
（由题意可知
）

是公比为
的等比数列，而

，

由
，得

（2）
，设
，则

由错位相减，化简得：
（12分）

18．解：（Ⅰ）由直方图，经过计算我校高三年级男生平均身高为

高于全市的平均值170.5（6分）

（II）这50人中182.5 cm以上的有5人，分别设为A,B,C,D,E，其中身高排名在全省前100名为A, B。设“该2人中至少有1人身高排名（从高到低）在全省前100名”为事件A,

由列举法可知
（12分）

19． 解：(1)∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，

平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴CB⊥平面ABEF，∵AF?平面ABEF，

∴AF⊥CB，又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，∴AF⊥平面CBF．

∵AF?面AFC，∴平面AFC⊥平面CBF；（6分）

（2）取CF中点记作M，设DF的中点为N，连接AN，MN

则MN

，又AO

，则MN
AO，

所以MNAO为平行四边形，（10分）

∴OM∥AN，又AN?平面DAF，OM?平面DAF，

∴OM∥平面DAF． （12分）

20．解：（1）

当直线AB的斜率存在时，设

由

。………………..4分

。

………………..6分

，

所以
的范围是
。………………..8分

………………..10分

………………..12分

21.解：（1）

∵
在点
处的切线与轴平行∴

∴
∴
,

当
时，
当
时

∴
在
上单调递增，在
单调递减，

故
在
处取得极大值1，无极小值

（2）由（1）的结论知，
在
上单调递减，不妨设
，

则

函数
在
上单调递减，

又
，

在
上恒成立，
在
上恒成立，

在
上
，

23.解：（1）曲线C的直角坐标方程为：

即：

直线
的普通方程为
4分

（2）将曲线C上的所有点的横坐标缩为原来的
，得

即

再将所得曲线向左平移1个单位，得
：

又曲线
的参数方程为
（
为参数），设曲线
上任一点

则
（其中
）

点到直线
的距离的最小值为
。

24.（Ⅰ）由
得，
，

∵其解集为
，

∴
，解得，
； ……………4分

（Ⅱ）由（1）知，
，

则不等式
为：

，

当
时，原不等式化为
，则
，

∴
；

当
时，原不等式化为
，则
，

∴
；

当
时，原不等式化为
，则
，

∴
；

综上，不等式的解集是
。 …………………10分