泸州市高2012级第二次教学质量检测

数 学（理工类）

本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分. 第一部分1至2页，第二部分3至4页.共150分.考试时间120分钟. 第一部分的答案涂在机读卡上，第二部分的答案写在答题卡上.

第一部分（选择题 共50分）

注意事项：

1. 答第一部分前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂、写在机读卡上.

2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把机题卡上对应题的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在草稿子、试题卷上.

3．本部分共12个题，每小题5分共60分.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中只有一个选

项是符合题目要求.

1．已知集合
，
，则

A．
B．
C．
D．

2．计算
的值等于

A．
B．
C．
D．

3．函数
的图象可能是

4．下列命题中，真命题是

A．
，
B．
，

C．“
”是“
”的充要条件 D．“
”是“
”的充分条件

5． 执行如图所示的程序框图，输出S的值是

A．3 B．－6

C．10 D．－15

6． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是

A．
B．

C．
D．

7． 不等式组
的解集记为D，下列四个命题中正确的是

A．
，
B．
，

C．
，
D．
，

8. 某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产
千件需另投入成本为
，当年产量不足

80千件时，
(万元)；当年产量不小于80千件时，
(万元)．每

件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完，则该厂在这一商品的生

产中所获年利润的最大值是

A．900万元 B．950万元 C．1000万元 D．1150万元

9． 已知一个三角形的三边长分别是5，5，6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻

该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是

A．2－
B．1－
C．2－
D．1－

10．已知函数
其中
，若对任意的非零实数
，存在

唯一的非零实数
(
)，使得
成立，则k的最大值为

A．
B．
C．
D．

第二部分 （非选择题 共100分）

注意事项:

1．用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，答在试题卷上无效.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷上无效.

2．本卷共11个小题，共100分.

填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上

11．如果复数
（i是虚数单位），则复数
的虚部为 ．

12．已知数列
为等差数列,
为其前n项和，若
，
，则其公差为_____．

13．在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，AA1⊥平面ABC，M，N分别是

A1B1，A1C1的中点，若BC＝CA＝CC1，则直线BM与直线AN所成角的

余弦值为 .

14．已知
的内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，重心为G（三角形中

三边中线的交点），若
，则
．

在平面上取定一点O，从O出发引一条射线Ox，再取定一个长度单位及计算角度的正方向（取逆时针方向为正），就称建立了一个极坐标系，这样，平面上任一点P的位置可用有序数对
确定，其中
表示线段OP的长度，θ表示从Ox到OP的角度．在极坐标系下，给出下列命题：

（1）平面上的点
与
重合；

（2）方程
和方程
分别都表示一条直线；

（3）动点A在曲线
上，则点A与点O的最短距离为2；

（4）已知两点
，
，动点C在曲线
上，则
面积的最大值为
．

其中正确命题的序号为　　　　　　　　（填上所有正确命题的序号）．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本题满分12分）

以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分)：

甲组



乙组





9

0

9









2

1

5



8



7

4

2

4







已知甲组数据的中位数为13，乙组数据的众数是18.

甲组

乙组





9

0

9









2

1

5



8



7

4

2

4









（Ⅰ）求
的值，并用统计知识分析两组学生成绩的优劣；

（Ⅱ）从两组学生中任意抽取3名，记抽到甲组的学生人数为X，求X的分布列和期望.

17．（本题满分12分）

在锐角
中，角A,B,C所对的边分别为
，向量
，
，

且
．

（Ⅰ） 求角
的大小；

（Ⅱ）求函数
的值域．

18．（本题满分12分）

已知函数
为奇函数，函数
．

（Ⅰ）求函数
的定义域;

（Ⅱ）当
时，关于
的不等式
有解，求
的取值范围．

19．（本题满分12分）

已知数列
，满足
，
，若
．

（Ⅰ）求
，并证明数列
是等比数列；

（Ⅱ）令
，求数列
的前n项和
．

20．（本题满分13分）

如图，在多面体
中，侧面
底面
，四边形
是

矩形，
，
，
，
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）当二面角
的正切值为2时，求
的值．

21．（本题满分14分）

已知函数
,
．其中
是自然对数的底数.

（Ⅰ）求经过点
与曲线
相切的直线方程；

（Ⅱ）若函数
，求证：当
时，函数
无零点；

（Ⅲ）已知正数m满足：存在
，使得
成立．试比较

的大小，并证明你的结论．

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

A

B

D

C

B

A

C

B

B





二、填空题

11．－1； 12．
； 13．
； 14．
； 15. (1)(4) .

三、解答题

16．解：（Ⅰ）甲组五名学生的成绩为9,12,10+x,24,27.

乙组五名学生的成绩为9，15，10+y，18，24.

因为甲组数据的中位数为13，乙组数据的众数是18，

所以
， 2分

, 4分

因为甲组数据的平均数为
， 5分

乙组数据的平均数是
， 6分

则甲组学生成绩稍好些； 7分

（Ⅱ）
的取值为0、1、2、3.

， 8分

， 9分

， 10分

， 11分

所以X的分布列为

0

1

2

3



P











EX=0

∴X的期望为
12分

17．解：(Ⅰ) ∵
，

∴
， 1分

由正弦定理得：
， 2分

∵
， 3分

∴
， 5分

∴
，

∴
，∵
，∴
，

∴
，∴
； 6分

（Ⅱ）
，

， 7分

， 8分

， 9分

， 10分

11分

∵
，
是锐角三角形，

∴
，∴
，

∴函数
的值域为
． 12分

18． 解：(Ⅰ)由
为奇函数得：
，

即
, 2分

所以
，解得
， 4分

经检验符合题意，故
, 5分

所以
的定义域是
； 6分

（Ⅱ）不等式
等价于
， 7分

即
在
有解， 8分

故只需
， 9分

因为
，所以
， 10分

函数
， 11分

所以
，

所以
，所以
的取值范围是
. 12分

19．解：（Ⅰ）∵
，

∴
， 1分

∴
， 2分

∴
； 3分

∵
， 5分

故数列
是首项为1，公比为
的等比数列； 6分

（Ⅱ）由（I）知：
，且
， 7分

， ①

，② 8分

①-②得：
， 9分

， 10分

所以
． 11分

故

. 12分

20．解法一：(Ⅰ) 取
的中点D，连接CD、
，因为
，
，

所以
，∴
，

∴四边形
是平行四边形， 1分

又
是矩形，∴
， 2分

因为侧面
底面
，
，

∴
底面
，

∴

， 3分

因为点D是
的中点，
，

∴
， 4分

又
，∴
平面
， 5分

∴
； 6分

（Ⅱ）过点C作
于点E, 过点E作
于点F, 连接
， 7分

由(Ⅰ)知：
平面
，
平面
,

∴平面
⊥平面
，且交线为
，

平面
，即
， 8分

所以

平面CEF，?则

所以
为二面角
的平面角， 9分

设
，
，则
，
，

所以
，
， 10分

∵
，又因