资阳市高中2012级第二次诊断性考试

数 学（理工类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。满分150分。考试时间120分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

注意事项：

必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案的标号涂黑。

第Ⅰ卷共10小题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数
是纯虚数，则实数m的值为

(A)－1 (B)1

(C)
(D)

2．集合
，
，若
，则实数a的取值范围是

(A)
(B)

(C)
(D)

3．“
”是“直线
和
互相平行”的

(A) 充要条件 (B)必要不充分条件

(C)充分不必要条件 (D)既不充分又不必要条件

4．设抛物线
上的一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离为

(A)3 (B)4

(C)5 (D)6

5．有5名同学站成一排照相，则甲与乙且甲与丙都相邻的不同排法种数是

(A)8 (B)12

(C)36 (D)48

6．在不等式组
所表示的平面区域内任取一点P，若点P的坐标(x,y)满足
的概率为
，则实数k＝

(A) 4 (B)2

(C)
(D)

7．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为

(A)
(B)

(C) 0 (D)

8．已知 a、b为平面向量，若a＋b与a的夹角为
，a＋b与b的夹角为
，则

(A)
(B)

(C)
(D)

9．已知F1、F2是双曲线
(a>0，b>0)的左、右焦点，点F1关于渐近线的对称点恰好落在以F2为圆心，|OF2|为半径的圆上，则该双曲线的离心率为

(A)
(B)

(C) 2 (D) 3

10．定义在R上的函数
满足
，当
时，
函数
．若
，
，不等式
成立，则实数m的取值范围是

(A)
(B)

(C)
(D)

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

注意事项：

必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。作图时可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。

第Ⅱ卷共11小题。

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．二项式
展开式中
的系数是________．

12．某年级有1000名学生，现从中抽取100人作为样本，采用系统抽样的方法，将全体学生按照1～1000编号，并按照编号顺序平均分成100组(1～10号，11～20号，…，991～1000号)．若从第1组抽出的编号为6，则从第10组抽出的编号为_________．

13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．

14．若直线
与圆C:
相交于A、B两点，则
＝______．

15．已知函数
，若对给定的△ABC，它的三边的长a, b, c均在函数
的定义域内，且
也为某三角形的三边的长，则称
是 “保三角形函数”，给出下列命题：

①函数
是“保三角形函数”；

②函数
是“保三角形函数”；

③若函数
是“保三角形函数”，则实数k的取值范围是
；

④若函数
是定义在R上的周期函数，值域为
，则
是“保三角形函数”；

⑤若函数
是“保三角形函数”，则实数t的取值范是
．

其中所有真命题的序号是_____________．

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）

已知函数
．

(Ⅰ)求函数
的最小正周期；

(Ⅱ)设
，且
，求
的值．

17.（本小题满分12分）

在科普知识竞赛前的培训活动中，将甲、乙两名学生的6次培训成绩（百分制）制成如图所示的茎叶图：

(Ⅰ)若从甲、乙两名学生中选择1人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由；

(Ⅱ)若从学生甲的6次培训成绩中随机选择2个，记选到的分数超过87分的个数为
，求
的分布列和数学期望．

18．（本小题满分12分）

四棱锥S－ABCD中，侧面SAD是正三角形，底面ABCD是正方形，且平面SAD⊥平面ABCD，M、N分别是AB、SC的中点．

(Ⅰ)求证：MN∥平面SAD；

(Ⅱ)求二面角S－CM－D的余弦值．

19.（本小题满分12分）

等差数列
的前n项和为
，数列
是等比数列，满足
，
，
，
．

(Ⅰ)求数列
和
的通项公式；

(Ⅱ)令
设数列
的前n项和
，求
．

20.（本小题满分13分）

已知椭圆Ω：
的焦距为
，且经过点
．

(Ⅰ)求椭圆Ω的方程；

(Ⅱ)A是椭圆Ω与
轴正半轴的交点, 椭圆Ω上是否存在两点M、N，使得△AMN是以A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.

21.（本小题满分14分）

已知函数
（其中
，e是自然对数的底数，e＝2.71828…）．

(Ⅰ)当
时，求函数
的极值；

(Ⅱ)若
恒成立，求实数a的取值范围；

(Ⅲ)求证：对任意正整数n，都有
．

资阳市高中2012级第二次诊断性考试

（数学学科）参考答案及评分意见（理工类）

一、选择题：BACCB，DADCC．

二、填空题：11. －40；12. 96；13.
；14. 4；15. ②③⑤.

三、解答题：

16.（本小题满分12分）

解析：(Ⅰ)

， 4分

故函数
的最小正周期是π． 6分

(Ⅱ)由
，即
，得
， 7分

因为
，所以
，可得
， 9分

则


11分

． 12分

17.（本小题满分12分）

解析：(Ⅰ)学生甲的平均成绩
，

学生乙的平均成绩
，

又
，

，

则
，
，

说明甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，则乙发挥更稳定，故应选择学生乙参加知识竞赛. 6分

注：(1)由茎叶图的分布可知应选择乙同学.（可给2分）

(2)由茎叶图可以看到甲的平均成绩在80分左右，其分布对称，乙的平均成绩在80分左右，但总体成绩稳定性较好，故应选择乙同学.（可给4分）

(Ⅱ)
的所有可能取值为0，1，2，则

，
，
，

的分布列为

0

1

2



P









所以数学期望
． 12分

18．（本小题满分12分）

解析：(Ⅰ)如图，取SD的中点R，连结AR、RN，

则RN∥CD，且RN＝
CD，AM∥CD，

所以RN∥AM，且RN＝AM，

所以四边形AMNR是平行四边形，

所以MN∥AR，由于
平面SAD，MN在平面SAD外，

所以MN∥平面SAD． 4分

(Ⅱ)解法1：取AD的中点O，连结OS，过O作AD的垂线交BC于G，分别以OA，OG，OS为x，y，z轴，建立坐标系，
，
，
，
，
，

设面SCM的法向量为
， 6分

则
有

令
，
，取面ABCD的法向量
，

8分

则
，

所以二面角S－CM－D的余弦值为
． 12分

解法2：如图，取AD的中点O，连结OS、OB，OB∩CM＝H，连结SH，由SO⊥AD，且面SAD⊥面ABCD，

所以SO⊥平面ABCD，SO⊥CM，

易得△ABO≌△BCM，所以∠ABO＝∠BCM，

则∠BMH＋∠ABO＝∠BMH＋∠BCM＝90°，

所以OB⊥CM，则有SH⊥CM，

所以∠SHO是二面角S－CM－D的平面角，

设
，则
，
，
，

，
，

则cos∠SHO＝
，所以二面角S－CM－D的余弦值为
． 12分

19.（本小题满分12分）

解析：(Ⅰ)设数列
的公差为d，数列
的公比为q，则

由
得
解得

所以
，
． 4分

(Ⅱ)由
，
得
， 5分

则
即
 6分

9分

． 12分

20.（本小题满分13分）

解析：(Ⅰ)由题
解得
，
．

所以椭圆Ω的方程为
． 4分

(Ⅱ)由题意可知，直角边AM，AN不可能垂直或平行于
轴，故可设AM所在直线的方程为
，不妨设
，则直线AM所在的方程为
． 5分

联立方程
消去
整理得
，解得
， 6分

将
代入
可得
，故点

.

所以
． 8分

同理可得
，由
，得
， 10分

所以
，则
，解得
或
． 12分

当AM斜率
时，AN斜率
；当AM斜率
时，AN斜率
；当AM斜率
时，AN斜率
．

综上所述，符合条件的三角形有
个. 13分

21.（本小题满分14分）

解析：(Ⅰ) 当
时，
，
，

当
时，
；当
时，
．

所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，

所以函数
在
处取得极小值
，函数
无极大值． 4分

(Ⅱ)由
，
，

若
，则
，函数
单调递增，当x趋近于负无穷大时，
趋近于负无穷大；当x趋近于正无穷大时，
趋近于正无穷大，故函数
存在唯一零点
，当
时，
；当
时，
．故
不满足条件． 6分

若
，
恒成立，满足条件． 7分

若
，由
，得
，当
时，
；当
时，
，所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，所以函数
在
处取得极小值

，由
得