福建省四地六校2015届高三上学期第三次月考试卷数学（文）

（考试时间：120分钟 总分：150分）

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合
，则
= （ ）

A．
B．
C.
D.

2．已知角的终边经过点
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3. 已知为虚数单位, 则复数
）在复平面内对应的点位于 （ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4．下列函数中, 在区间
上为增函数的是( )

A.
B.
C.
D.

5.如果直线
与直线
互相垂直，那么=（ ）

A.1 B.
C.
D.

6. 为了得到函数
的图象，则只要将
的图像（ ）

A. 向右平移
个单位长度 B. 向右平移
个单位长度

C. 向左平移
个单位长度 D. 向左平移
个单位长度

7．设向量,
满足
，
，则
=( )

A.1 B.2 C.3 D.5

8．中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线方程为
，则该双曲线的离心率为( )

A .
B.
C .
D.

9．程序框图如右图所示，则输出
的值为( )

A．15 B．21 C．22 D．28

10．函数
的图像恒过定点
，若点
在直线
上，则
的最小值为( )

A．
B．
C．
D．

11．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( )

A．5 B．6

C．7 D．8

12.已知定义在R上的函数
的图象关于点
成中心对称图形，且满足
，
,
，则
的值为( )

A.1 B.2 C. 0? D.-2?

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的相应位置.

13.设抽测的树木的底部周长均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株树木的底部周长小于100cm.14．已知函数
则
的值是

15．是抛物线
上一点，抛物线的焦点为，且
，则点的纵坐标为________．

16. 若直线
与曲线
满足下列两个条件：
直线
在点
处与曲线
相切；
曲线
在点附近位于直线
的两侧，则称直线
在点处“切过”曲线
. 下列命题正确的是__ ____(写出所有正确命题的编号)

①直线
在点
处“切过”曲线
：

②直线
在点
处“切过”曲线
：

③直线
在点
处“切过”曲线
：

④直线
在点
处“切过”曲线
：

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.(本小题满分12分)

在
中，角，，
对应的边分别为，
，，且

,
.

(Ⅰ)求边的长度；

(Ⅱ)求
的值.

18（本小题满分12分）

已知数列
中，
，且点
在函数
的图象上
,数列
是各项都为正数的等比数列，且
.

（Ⅰ）求数列
,
的通项公式；

（Ⅱ）若数列
满足
，记数列
的前n项和为
,求
的值.

19．（本小题满分12分）

根据调查，某学校开设了“街舞”、“围棋”、“武术”三个社团，三个社团参加的人数如下表所示：

社团

街舞

围棋

武术



人数

320

240

200



 为调查社团开展情况，学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，已知从“街舞”社团抽取的同学8人。

(I) 求的值和从“围棋”社团抽取的同学的人数；

(II)若从“围棋”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务，已知 “围棋”社团被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选为监督职务的概率。

20．（本小题满分12分）

如图，四棱锥
中，
为矩形，平面
平面
．

（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）若
，问当
为何值时，四棱锥
的体积最大？并求其最大体积.

21. (本小题满分12分)

已知椭圆：
（
）的长半轴长为2，离心率为
，左右焦点分别为
，
．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线
与椭圆交于，两点，与以
，
为直径的圆交于，两点，且满足
，求直线的方程．

22．（本小题满分14分）

已知函数
，其中常数
.

（Ⅰ）当
时，求函数
的极值点；

（Ⅱ）证明：对任意
恒成立；

（III）对于函数
图象上的不同两点
，如果在函数
图象上存在点
（其中
）,使得在点M处的切线
∥AB，则称直线AB存在“伴侣切线”．特别地，当
，又称直线AB存在“中值伴侣切线”．

试问：当
时，对于函数
图象上不同两点A、B，直线AB是否存在“中值伴侣切线”,并证明你的结论．

“四地六校联考”2014-2015学年上学期第三次月考

高三数学（文）参考答案

一、本大题共12小题，每小题5分，共60分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

D

B

A

D

C

A

D

B

B

C

A



二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

13. 24 14.
15 .4 16 ①③

17. (本小题满分12分)

（Ⅰ）由余弦定理，得
.又

,
，

. ………2分

………4分

（Ⅱ）在△ABC中，
，……………………………6分

由正弦定理，得
.………………………………8分

因a=b>c，所以C为锐角，因此
……………10分

于是
. …………………12分

18. (本小题满分12分)

解：(1) 因点
在直线y=x+1的图象上，
，即

数列{an}是以1为首项，1为公比的等比数列.

故数列
的通项公式为
…………………………………………4分

数列{bn}为等比数列，设公比为q，

∵
，b4＝b1q3＝8，

∴
,q＝2.∴bn＝2n－1(n∈N*)．…………………………………8分

（Ⅱ）
,


……12分

19．(本小题满分12分)

解：（Ⅰ）

…………………………………2分

从“围棋”社团抽取的同学
…………………………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从“围棋”社团抽取的同学为6人，

其中2位女生记为A，B，4位男生记为C，D，E，F ………5分

则从这6位同学中任选2人，不同的结果有

{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，

{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，

共15种． ……………………………………8分

法1：其中含有1名女生的选法为

{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，

{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，

共8种；

含有2名女生的选法只有{A，B}1种． 至少有1名女同学共9种 ……………………10分

故至少有1名女同学被选中的概率
=

． ………………… ……12分

法2：从这6位同学中任选2人，没有女生的有：{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，

{E，F}，共6种

故至少有1名女同学被选中的概率1-
=

．

20.(本小题满分12分)

解：（1）面
面
,面
面
=
,

面
……………………………………4分

又
面
……………………………………5分

……………………………………6分

（2）取
中点，连结
,

,由（1）有
面ABCD, ………………8分

设AD=.

…………………10分
……………………11分

当
即
时，

………………………………12分

21. (本小题满分12分)

（Ⅰ）由题设知
……………………2分

解得

∴ 椭圆的方程为
．……………………4分

（Ⅱ）由题设，以
为直径的圆的方程为
，……………………5分

∴ 圆心的直线的距离
，由
得
．（*）……………………6分

∴
．……………………7分

设
由
，得
，……………………8分

由求根公式可得
．……………………9分

∴
．……………………10分

由
得
， 解得
，满足（*）．……………11分

∴ 直线的方程为
或
．…………………12分

22. (本小题满分14分) （Ⅰ）当
时，

…1分，

时

当
或
时
，即
在
上单调递增……2分，

当
时，
，
在
上单调递减 ……3分，

为函数
的极大值点，
为函数
的极小值点 ………………4分

（Ⅱ）令



…6分

所以
在
上递增,
（当且仅当x=1时等号成立），

即证： 对任意
恒成立； ……………8分（III）当
，
，
，假设函数
存在“中值伴侣切线”.设A
,
是曲线
上的不同点，且
，
则直线AB的斜率：

……9分曲线在点
处的切线斜率：
……10分依题意：
,即
化简得
，…11分

即
设

，上式化为
,
…………12分由（2）知
时，
恒成立.所以在
内不存在,使得
成立.

综上所述，假设不成立.所以，函数
不存在“中值伴侣切线” ………………14分