福建省四地六校2015届高三上学期第三次月考试卷数学（理）

时间：120分钟 满分：150分

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，只有一项是符合题目要求的。

1、已知R为实数集，
,
，则
（ ）

A．{x|0

2．设
,且
，则锐角为（ ）

A．
B．
C．
D．

3．棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）

A．
B.
C.
D.

4．在等比数列
中，
，则
的值是（ ）

A．
B．
C.
D．

5．在各项都为正数的等差数列
中，若a1＋a2＋…＋a10＝30，则a5·a6的最大值等于（ ）

　 A. 3　　　 　　 B. 6　　 C.9　 D. 36

6．设，，表示三条直线，，
，表示三个平面，给出下列四个命题：

①若⊥，⊥，则∥；

②若
，是在
内的射影，⊥，则⊥；

③若，∥，则∥；

④若⊥，
⊥，则∥
. 其中真命题为（ ）

A．①② B．①②③ C．①②③④ D．③④

7.将函数
的图像向右平移n个单位后所得图像关于y轴对称，则n的最小正值是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，

M为棱BB1的中点，则下列结论中错误的是（ ）

　A.D1O∥平面A1BC1 B. D1O⊥平面AMC

C.异面直线BC1与AC所成的角等于60°　 D.二面角M－AC－B等于45°

9.已知函数f(x)＝
，则下列结论正确的是

A. f(x)在(0,1)上恰有一个零点　　　B. f(x)在(－1,0)上恰有一个零点

C. f(x)在(0,1)上恰有两个零点　 D. f(x)在(－1,0)上恰有两个零点

10．某同学在研究函数
(
R) 时，分别给出下面几个结论：

①等式
在
时恒成立； ②函数 f (x) 的值域为 (－1,1)；

③若x1≠x2，则一定有f (x1)≠f (x2)； ④函数
在上有三个零点.

其中正确结论的序号是（ ）

A．①② B．①②③ C． ①③④ D．①②③④

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分。

11．
　　　　　。

12.若变量x,y满足约束条件
，则
的最大值等于　　　　　。

13．如图，一个几何体的三视图是三个直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为 ．

14.如图，自然数列按正三角形图顺序排列，如数9排在第4行第3个位置；设数2015排在第m行第n个位置，则

15 .已知函数
若对任意实数
,有
,

,则的最大值为

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分13分）

在数列
中，
，
（
，常数
），且
，
，
成等比数列．

（1）求的值；

（2）求数列
的通项公式．

17.（本小题满分13分）

已知函数
－

（1）求
的最小正周期及其对称中心；

（2）如果三角形ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对角为x，试求x的范围及此时函数
的值域。

18．（本小题满分13分）

如图，三棱柱
中，
面
，

,
，
，为
的中点。

(I)求证：
面
；

(Ⅱ)求二面角
的余弦值

19.（本小题满分13分）

如图，多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，正方形ADEF的边长为2，

直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB＝2，CD＝4.

（Ⅰ）求证：BC⊥平面BDE；

（Ⅱ）试在平面CDE上确定点P，使点P到直线DC、DE的距离相等，且AP与平面BEF所成的角等于30°.

20.（本小题满分14分）

设曲线
在点处的切线斜率为
，且
。

对一切实数，不等式
恒成立

（I）求
的值。

（II）求函数
的表达式；

（III）求证：

21.（本题满分14分）

请考生在第（I）、（II）、（III）题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分。

I. 选修4—2　矩阵与变换

已知矩阵

（1）求A的逆矩阵A-1 ；

（2）求A的特征值及对应的特征向量。

II．选修4－4：坐标系与参数方程

已知直线
的参数方程：
（为参数）和圆
的极坐标方程：
。

（1）将直线
的参数方程化为普通方程，圆
的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）判断直线
和圆
的位置关系。

III．选修4－5：不等式证明选讲

将12cm长的细铁线截成三条长度分别为、
、的线段，

（1）求以、
、为长、宽、高的长方体的体积的最大值；

（2）若这三条线段分别围成三个正三角形，求这三个正三角形面积和的最小值。

四地六校第三次月考试卷参考答案

一、选择题

1．B 2．B 3．C 4．C 5．C 6．A 7．A 8．D 9．B 10.B

二、填空题

11.
12．6； 13.29 14. 125 15.lg

三、解答题

16、解：（1）由题知，
，
，
， ………2分

因为
，
，
成等比数列，所以
， ………4分

解得
或
，又
，故
． ………6分

（2）当
时，由
得

，

，

…

，

以上各式相加，得
， ………9分

又
，
，故
， ………11分

当
时，上式也成立， ………12分

所以数列
的通项公式为
（
）． ………13分

17、解：(1)

=
…………….4分

的最小正周期为
……………5分

的对称中心为

…………….6分

(2)

………..8分

又

……………9分

而
……………10分

由
，得

……………….13分

18．解：（1）连接B1C，交BC1于点O，则O为B1C的中点，

∵D为AC中点， ∴OD∥B1A ………………2分

又B1A平面BDC1，OD平面BDC1

∴B1A∥平面BDC1 ………………4分

(也可证明
且AB1平面BDC1)

（2）∵AA1⊥面ABC，BC⊥AC，AA1∥CC1

∴CC1⊥面ABC 则BC⊥平面AC1，CC1⊥AC

如图以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，
所在直线为z轴建立空间直角坐标系， 则C1(0,0,3) B(0,2,0) D(1,0,0) C(0,0,0) ………………7分

∴设平面
的法向量为
，由

得
，即
，取
， 则
………………9分

又平面BDC的法向量为
………………10分

cos
………………11分

又二面角C1—BD—C为锐二面角 ………………12分

∴二面角C1—BD—C的余弦值为
………………13分

19．解：

20．解：（I）由对一切实数，不等式
恒成立

得
，
…………3分

（II）

由
得
得
…………5分

又
恒成立

则由
恒成立得
…………7分

同理由
恒成立得
…………8分

综上，

…………9分

（III）
…………10分

要证原不等式，即证：
…………11分

…………14分

注：第（III）小题也可用数学归纳法证明。

21．

I. 解：（1）∵
∴A可逆 …………1分

∴
……………………3分

（2）A的特征多项式
………4分

由
，得
或
； ……………………5分

当
时，由
得特征向量

当
时，由
得特征向量
……………………7分

II. 解：（1）
，
……………………3分

（2）圆心
，半径

圆心到直线的距离为
，∴直线和圆相交。 ……………………7分

III.解：（1）
，
；

当且仅当
时，等号成立. ……………………3分

（2）设正三角形的边长为
，则

由柯西不等式
………5分

∴这三个正三角形面积和

当且仅当
时，等号成立.

∴这三个正三角形面积和的最小值为
……………………7分