一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题纸的相应位置.

1．在复平面内，复数
对应的点位于 （ ）

A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限

2．已知集合
，
，则
（ ）

A．{x|0＜x＜1} B．{x|x＞1} C．{x|x≥2} D．{x|1＜x＜2}

3．设f（x）是定义在R上的奇函数，当
时，f（x）＝x
（e为自然对数的底数），

则
的值为　　　　　（　　　　）

A．ln6＋6 B． ln6－6 C． －ln6＋6 D．－ln6－6

4.已知等差数列
的n前项和为
,其中
（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7

5．过抛物线
＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若｜AF｜＝3，则△AOB的面积为( )

A．
B．
C．
D．2

6．执行右边的程序框图，若输出的S是127，则判断框内应该是( )

A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤8

7.函数
在一个周期内的图象如图所示， A
，B在y轴上，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，
在x轴上的投影为，则ω，φ的值为(　　)

A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝

C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝

8．一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系
中的坐标分别是（0，0，0），（1，2，0），（0，2，2），（3，0，1），则该四面体中以
平面为投影面的正视图的面积为

A． B．
C． D．

9.函数
的部分图象为

10.三棱锥S—ABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，△ABC是斜边AB＝a的等腰直角三角形，则以下结论中：

①异面直线SB与AC所成的角为90°.

②直线SB⊥平面ABC；

③平面SBC⊥平面SAC；

④点C到平面SAB的距离是a.

其中正确的个数是（ ）．

A.1 B.2 C.3 D.4

11已知H是球O的直径AB上一点，AH:HB =1:2，AB⊥平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为

A．
B．4 C．
D．

12.设
，若函数
在区间
上有三个零点，则实数a的取值范围是

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）

13.已知在正方体
中，点E是棱
的中点，则

直线AE与平面
所成角的正切值是 .

14．己知x>0，y>0，且
，则x+y的最大值是______.

15．

。

16．函数f（x）＝
的最大值与最小值之积等于____________．

三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

设函数

(Ⅰ)求
的最大值，并写出使
取最大值时x的集合；

(Ⅱ)已知
中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若
，求a的最小值.

18．（本小题满分12分）

已知数列
的前项和为
，
.

(Ⅰ)求数列
的通项公式；

(Ⅱ)设
，
＝
，记数列
的前项和
.若对
，

恒成立，求实数
的取值范围．

19．（12分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．

（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；

（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．

20（本小题满分12分）

己知向量
，记
.

(I)若
，求
的值；

( II)在锐角ABC申，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(
,

求函数
的取值范围．

21（本小题满分12分）

如图，设四棱锥
的底面为菱形，且∠
，
，
。

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）求平面
与平面
所夹角的余弦值。

请在下面的两个题中任选一题做答

【选修4—1】集合证明选讲

22．（10分） 如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．

（1）证明：AE是⊙O的切线；

（2）如果AB=2
，AE=
，求CD．

【选修4—5】不等式选讲

23．设函数f（x）=
+
的最大值为M．

（Ⅰ）求实数M的值；

（Ⅱ）求关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M的解集．

答案

一、A C A B C B A A A D C D

二填空题

13.3 14．4 15.
16.

三、

的最大值为………………………………………4分

要使
取最大值，

故的集合为
………6分

（2）由题意，
，即

化简得
……………………………………………………8分

，
，只有
，
………9分

在
中，由余弦定理，
………10分

由
知
，即
，………………………………11分

当
时，取最小值
…………………………………12分

18.解： （1）当
时，
，当
时，

即：
，数列
为以2为公比的等比数列
………6分

（2）由bn＝log2an得bn＝log22n＝n，则cn＝
＝
＝
－
，

Tn＝1－
＋
－
＋…＋
－
＝1－
＝
.………9分

∵
≤k(n＋4)，∴k≥
＝
.

∵n＋
＋5≥2
＋5＝9，当且仅当n＝
，即n＝2时等号成立，

∴
≤
，因此k≥
，故实数k的取值范围为
……12分

20. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）
=
=

因为
，所以
…………………………………4分

…6分

（Ⅱ）因为

由正弦定理得
……………………7分

所以
所以

因为
，所以
，且

所以
………8分 所以
……9分

所以
……………………10分

又因为
=

所以

……11分

故函数
的取值范围是

21. （本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：连接
，取
的中点，连接
、
，
，
，
，
，又四棱锥
的底面为菱形,且∠
，
是是等边三角形，

，又
，
，
，
面

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，分别以
为轴、轴、轴的正半轴建立建立空间直角坐标系。则面
的一个法向量

，
，
，
，
，设面
的法向量
，则

，

，令
，则
，由
，设平面
与平面
所夹角的大小为
，则

．

22．

（1）证明：连结OA，在△ADE中，AE⊥CD于点E，

∴∠DAE+∠ADE=90°

∵DA平分∠BDC．

∴∠ADE=∠BDA

∵OA=OD

∴∠BDA=∠OAD

∴∠OAD=∠ADE

∴∠DAE+∠OAD=90°

即：AE是⊙O的切线

（2）在△ADE和△BDA中，

∵BD是⊙O的直径

∴∠BAD=90°

由（1）得：∠DAE=∠ABD

又∵∠BAD=∠AED

∵AB=2

求得：BD=4，AD=2

∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60°

进一步求得：CD=2

故答案为：（1）略

（2）CD=2

23． 解：（Ⅰ）函数f（x）=
+
=
?
+
≤
?
=3，

当且仅当
=
，即 x=4时，取等号，故实数M=3．

（Ⅱ）关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M，即|x﹣1|+|x+2|≤3．

由绝对值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）﹣（x+2）|=3，

∴|x﹣1|+|x+2|=3．

根据绝对值的意义可得，当且仅当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|=3，

故不等式的解集为[﹣2，1]．