大教育名校联盟高三联考

数学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题:

1-5 BABAC 6-10 ACDBC 11-12. AC

二、填空题:

13.
14.
15.
16.

三、解答题:

（17）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）因为

所以
①,
----② …………2分

由①得
③

在△ABC中,由正弦定理得
,

设

则
,代入③得

………………4分

因为
,故

所以
,

因为
，所以
. ………………6分

(Ⅱ) 因为
,由余弦定理得

所以
,--④ ………………8分

由②得
------------⑤

由④⑤得
， ……………………10分

所以
. ……………………12分

（18）(本小题满分l2分)

解：（I）由题意知
之间的频率为：
……2分

具有参赛资格的频率为：

故获得参赛资格的人数为：
.………………………5分

（II）设甲答对每一个问题的概率为，则
，解得
.…………6分

甲在初赛中答题个数
的所有取值为：3,4,5.

;
;

;…………………………9分

故
的分布列为

3

4

5



P









…………………………10分

数学期望为：
.…………………………12分

（19）(本小题满分l2分)

(Ⅰ)证明：因为
，
，所以
为等腰直角三角形，所以
． ……1分

因为
是一个长方体，所以
，而
，
，所以
． 3分

因为
垂直于平面
内的两条相交直线
和
，由线面垂直的判定定理，可得
．…4分

(Ⅱ)解：过点在平面
作
于，连接
．……5分

因为
，所以
，所以
就是
与平面
所成的角．……6分

因为
，
，所以
．

所以
与平面
所成的角的正切值为
．……8分

(Ⅲ)解：当
时，
．……9分

当
时，四边形
是一个正方形，所以
，而
，

所以
，所以
．……10分

而
，
与
在同一个平面内，所以
．……11分

而
，所以
，所以
． ……12分

方法二：(Ⅰ)如图建立空间直角坐标系，设棱长
，则有
，
，
，
． ……2分

于是
，
，
，所以
，
．……3分

所以
垂直于平面
内的两条相交直线
和
，由线面垂直的判定定理，可得
． ……4分

(Ⅱ)
，所以
，而平面
的一个法向量为
．…5分

所以
．……6分

所以
与平面
所成的角的正弦值为
． ……7分

所以
与平面
所成的角的正切值为
．……8分

(Ⅲ)
，所以
，
．设平面
的法向量为
，则有
，令
，可得平面
的一个法向量为
． ……10分

若要使得
，则要
，即
，解得
．…11分

所以当
时，
． ……12分

（20）（本小题满分12分）

解：（I）椭圆
过点

………1分

离心率为

………3分

又

解得

椭圆
………5分

（II）①当
的倾斜角是
时，
的方程为
，交点

此时
,不合题意. ………6分

②当
的倾斜角不是
时，设
的斜率为
,则其直线方程为

由
消去得：

设
，则
8分

………10分又已知

解得

故直线
的方程为
即
或
……12分

(21)（本小题满分12分）

解：（I）函数的定义域
；
；………………2分

则
，解得
,即
.………………5分

（II）因为曲线
的图像恒在直线
的上方，

所以
在
上恒成立，即
恒成立. ………………6分

令
；
,由
得
.

列表













0









极小值





由上表可得最小值为
；………………10分

故实数的取值范围为
. ………………12分

（22）（本小题满分10分）

选修4-1：几何证明选讲

23．（本小题满分
分）选修4－4：坐标系与参数方程

解：（Ⅰ）直线
的方程为
圆
的方程是

圆心到直线的距离为
，

∴直线
与圆
的公共点个数为； ………………5分

（Ⅱ）圆
的参数方程方程是
∴曲线
的参数方程是
，∴

当
或
时，
取得最大值
.

此时
的坐标为
或
………………………10分

24. （本小题满分
分）选修4－5：不等式选讲

解：（Ⅰ）∵
.

因此只须解不等式

.

当
时，原不式等价于
，即
.

当
时，原不式等价于
，即
.

当
时，原不式等价于
，即
.

综上，原不等式的解集为
. ……………………5分

（Ⅱ）∵

又
时，

∴
时，
. ……………………10分