确山二高2014——2015学年高三上学期期中统考理科数学试卷

考试时间：120分钟； 命题人：刘运生

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。满分150分，考试时间120分钟.

2．答题前考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔填写好自己的姓名、班级、考号等信息.

3．考试作答时，请将答案正确填写在答题卡上。第一卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知A={2，
},B={,},A∩B={1}，则实数，的值分别为（ ）

.,0 .,1
.1, .
, 1

2. 已知命题：
∈（0,2]，使
，则
为（ ）

.
∈（0,2]，使
.
∈（0,2]，使

.
∈（0,2]，使
.
?（0,2]，使

3. 下列函数中,在定义域内既是奇函数,又是增函数是( )

A.
B.
C.
D.

4. 若
，则
的值为(　　 )

A．2 B．3 C．
D．

5. 若复数满足
,则复数对应的点位于( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

6. 已知角的终边经过P(-3,4)，则cos2α+sin2α=( )

.
.

.
.

7. 定义为R上的函数
满足
，
，
=2，则
=（ ）

.3 .

.
.2

8. 在△ABC中“sinA>sinB”是“cosA

.充分不必要条件 .必要不充分条件
.充要条件 .既不充分也不必要条件

9. 若
满足不等式
,则
的最小值为( )

A.
B.
C. D.

10. 已知函数
的图像如图所示(其中
是定义域为R函数
的导函数),则以下说法错误的是（ ）

.

.当
时, 函数
取得极大值

.方程
与
均有三个实数根

.当
时,函数
取得极小值

11. 将函数y＝3sin的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数(　　)

A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增

C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增

12. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为(　　)

A．7 B．9 C．10 D．11

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2　，则△ABC的面积等于________．

14. 已知函数
的图象在
处的切线方程是
,则
? .

15. 下列命题中:

①命题“若
,则
”的否命题为“若
,则
”；

②命题“若方程
，则m>4”的逆命题为真命题；

③对命题p和q，“p且q为假”是“p或q为假”的必要不充分条件.

假命题的序号为 .

16. 已知
=
,若对
,
∈(0,1),且
≠
,都有
为真命题，则实数的取值范围 .

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且∠A满足：2cos2A﹣2
sinAcosA=﹣1．

（Ⅰ）若a=2
，c=2，求△ABC的面积；

（Ⅱ）求
的值．

18．（12分）某旅行社为3个旅游团提供甲、乙、丙、丁共4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条．

（1）求恰有2条线路没有被选择的概率；

（2）设选择甲旅行线路的旅游团数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

19．（12分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．

（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；

（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．

20．（12分）椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，其左焦点到点P（2，1）的距离为
．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

21．（12分）已知函数f（x）=
x2﹣
ex3+ex（x﹣1）（其中e为自然对数的底数），记f（x）的导函数为f′（x）．

（1）求函数y=f（x）的单调区间；

（2）求证：当x＞0时，不等式f′（x）≥1+lnx恒成立．

请在下面的两个题中任选一题做答

【选修4—1】集合证明选讲

22．（10分） 如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．

（1）证明：AE是⊙O的切线；

（2）如果AB=2
，AE=
，求CD．

【选修4—5】不等式选讲

23．设函数f（x）=
+
的最大值为M．

（Ⅰ）求实数M的值；

（Ⅱ）求关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M的解集．

数学试卷（理科）答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



B

C

D

B

B

A

D

C

A

B

B

B



13. 2　 14.7/2 15.① 16.a≤4



20． 解：（Ⅰ）∵左焦点（﹣c，0）到点P（2，1）的距离为
，∴
，解得c=1．

又
，解得a=2，∴b2=a2﹣c2=3．

∴所求椭圆C的方程为：
．

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由
得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）=0，

△=64m2k2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，化为3+4k2＞m2．

∴
，
．

y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=
=
．

∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），kAD?kBD=﹣1，∴
，

∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，∴

．

化为7m2+16mk+4k2=0，解得m1=﹣2k，
．

，且满足3+4k2﹣m2＞0．

当m=﹣2k时，l：y=k（x﹣2），直线过定点（2，0）与已知矛盾；

当m=﹣
时，l：y=k
，直线过定点
．

综上可知，直线l过定点，定点坐标为
．

21． （1）解：）∵f（x）=
x2﹣
ex3+ex（x﹣1），

∴f′（x）=﹣ex2+x+ex（x﹣1）+ex=x（ex+1﹣ex），

令y=ex+1﹣ex，则y′=ex﹣e，y′＞0，得x＞1，y′＜0，得x＜1，则x=1取极小，也是最小，

则y≥1．即ex+1﹣ex＞0恒成立，

则g′（x）＞0得x＞0；g′（x）＜0得x＜0．

故g（x）的增区间为（0，+∞），减区间为（﹣∞，0）．

（2）证明：当x＞0时，1+lnx﹣f′（x）=1+lnx+ex2﹣x﹣exx，

令h（x）=1+lnx+ex2﹣x﹣exx，

h′（x）=
+2ex﹣1﹣exx﹣ex，

当x=1时，h′（x）=0，由（1）得，ex﹣ex≥0，

当x＞1时，h′（x）＜0，当0＜x＜1时，h′（x）＞0，

故x=1为极大值，也为最大值，且为h（1）=0．

故当x＞0时，h（x）≤h（1），即有h（x）≤0，

故当x＞0时，1+lnx﹣f′（x）≤0，即f′（x）≥1+lnx．

22．

（1）证明：连结OA，在△ADE中，AE⊥CD于点E，

∴∠DAE+∠ADE=90°

∵DA平分∠BDC．

∴∠ADE=∠BDA

∵OA=OD

∴∠BDA=∠OAD

∴∠OAD=∠ADE

∴∠DAE+∠OAD=90°

即：AE是⊙O的切线

（2）在△ADE和△BDA中，

∵BD是⊙O的直径

∴∠BAD=90°

由（1）得：∠DAE=∠ABD

又∵∠BAD=∠AED

∵AB=2

求得：BD=4，AD=2

∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60°

进一步求得：CD=2

故答案为：（1）略

（2）CD=2

23． 解：（Ⅰ）函数f（x）=
+
=
?
+
≤
?
=3，

当且仅当
=
，即 x=4时，取等号，故实数M=3．

（Ⅱ）关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M，即|x﹣1|+|x+2|≤3．

由绝对值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）﹣（x+2）|=3，

∴|x﹣1|+|x+2|=3．

根据绝对值的意义可得，当且仅当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|=3，

故不等式的解集为[﹣2，1]．