确山二高2014——2015学年高三上学期期中统考文科数学试卷

考试时间：120分钟； 命题人：刘运生

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。满分150分，考试时间120分钟.

2．答题前考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔填写好自己的姓名、班级、考号等信息.

3．考试作答时，请将答案正确填写在答题卡上。第一卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知A={2，
},B={,},A∩B={1}，则实数，的值分别为（ ）

.,0 .,1
.1, .
, 1

2. 已知命题：
∈（0,2]，使
，则
为（ ）

.
∈（0,2]，使
.
∈（0,2]，使

.
∈（0,2]，使
.
?（0,2]，使

3. 下列函数中,在定义域内既是奇函数,又是增函数是( )

A.
B.
C.
D.

4. 若
，则
的值为(　　 )

A．2 B．3 C．
D．

5. 若复数满足
,则复数对应的点位于( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

6. 已知角的终边经过P(-3,4)，则cos2α+sin2α=( )

.
.

.
.

7. 定义为R上的函数
满足
，
，
=2，则
=（ ）

.3 .

.
.2

8. 在△ABC中“sinA>sinB”是“cosA

.充分不必要条件 .必要不充分条件
.充要条件 .既不充分也不必要条件

9. 若
满足不等式
,则
的最小值为( )

A.
B.
C. D.

10. 已知函数
的图像如图所示(其中
是定义域为R函数
的导函数),则以下说法错误的是（ ）

.

.当
时, 函数
取得极大值

.方程
与
均有三个实数根

.当
时,函数
取得极小值

11. 将函数y＝3sin的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数(　　)

A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增

C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增

12. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为(　　)

A．7 B．9 C．10 D．11

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2　，则△ABC的面积等于________．

14. 已知函数
的图象在
处的切线方程是
,则
? .

15. 下列命题中:

①命题“若
,则
”的否命题为“若
,则
”；

②命题“若方程
，则m>4”的逆命题为真命题；

③对命题p和q，“p且q为假”是“p或q为假”的必要不充分条件.

假命题的序号为 .

16. 已知
=
,若对
,
∈(0,1),且
≠
,都有
为真命题，则实数的取值范围 .

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（12分）在△ABC中，角A，B， C所对的边分别是a，b，c，已知c=2，C=
．

（1）若△ABC的面积等于
，求a，b；

（2）若cosA=
，求b．

18．（12分）年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他们的健康状况如下表：

健康指数

2

1

0

﹣1



60岁至79岁的人数

120

133

34

13



80岁及以上的人数

9

18

14

9



其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，﹣1代表“生活不能自理”．

（Ⅰ）随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老人生活能够自理的概率是多少？

（Ⅱ）按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位．求被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率．

19．（12分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点．

（1）求证：BC1∥平面CA1D；

（2）求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B；

（3）若底面ABC为边长为2的正三角形，BB1=
，求三棱锥B1﹣A1DC的体积．

20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆
的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k

（1）若直线PA平分线段MN，求k的值；

（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；

（3）对任意k＞0，求证：PA⊥PB．

21．（12分）已知函数f（x）=x+alnx．

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若函数f（x）没有零点，求a的取值范围．

请在下面的两个题中任选一题做答

【选修4—1】集合证明选讲

22．（10分） 如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．

（1）证明：AE是⊙O的切线；

（2）如果AB=2
，AE=
，求CD．

【选修4—5】不等式选讲

23．设函数f（x）=
+
的最大值为M．

（Ⅰ）求实数M的值；

（Ⅱ）求关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M的解集．

期中数学试卷（文科）答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



B

C

D

B

B

A

D

C

A

B

B

B



13. 2　 14.7/2 15.① 16.a≤4

　

19． 证明：（1）连接AC1交A1C于点E，连接DE

∵四边形AA1C1C是矩形，则E为AC1的中点

又∵D是AB的中点，DE∥BC1，

又DE?面CA1D，BC1?面CA1D，

∴BC1∥平面CA1D；

（2）AC=BC，D是AB的中点，

∴AB⊥CD，

又∵AA1⊥面ABC，CD?面ABC，

∴AA1⊥CD，

∵AA1∩AB=A，

∴CD⊥面AA1B1B，

又∵CD?面CA1D，

∴平面CA1D⊥平面AA1B1B

（3）则由（2）知CD⊥面ABB1B，

∴三棱锥B1﹣A1DC底面B1A1D上的高就是CD=
，

又∵BD=1，BB1=
，

∴A1D=B1D=A1B1=2，
=
，

∴三棱锥B1﹣A1DC的体积
=
=
=1

20． 解：（1）由题设知，a=2，b=
，

故M（﹣2，0），N（0，﹣
），所以线段MN中点坐标为（﹣1，﹣
）．

由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过原点，

所以k=
．

（2）直线PA的方程为y=2x，代入椭圆方程得
，解得x=±
，

因此P（
，
），A（﹣
，﹣
）

于是C（
，0），直线AC的斜率为1，故直线AB的方程为x﹣y﹣
=0．

因此，d=
．

（3）设P（x1，y1），B（x2，y2），则x1＞0，x2＞0，x1≠x2，

A（﹣x1，﹣y1），C（x1，0）．

设直线PB，AB的斜率分别为k1，k2．

因为C在直线AB上，所以k2=
，

从而kk1+1=2k1k2+1=2?
=

=
=
．

因此kk1=﹣1，所以PA⊥PB．

21． 解：（I）∵f（x）=x+alnx，∴x＞0，
，

∴当a≥0时，在x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，

∴f（x）的单调增区间是（0，+∞），没的减区间；

当a＜0时，函数f（x）与f′（x）在定义域上的情况如下：

x （0，﹣a） ﹣a （﹣a，+∞）

f′（x） ﹣ 0 +

f（x） ↘ 极小值 ↗

函数的增区间是（﹣a，+∞），减区间是（0，a）．

（II）由（I）可知

当a＞0时，（0，+∞）是函数f（x）的单调增区间，且有f（e
）=
﹣1＜1﹣1=0，f（1）=1＞0，

所以，此时函数有零点，不符合题意；

当a=0时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上没零点；

当a＜0时，f（﹣a）是函数f（x）的极小值，也是函数f（x）的最小值，

所以，当f（﹣a）=a[ln（﹣a）﹣1]＞0，即a＞﹣e时，函数f（x）没有零点，

综上所述，当﹣e＜a≤0时，f（x）没有零点．

22．

（1）证明：连结OA，在△ADE中，AE⊥CD于点E，

∴∠DAE+∠ADE=90°

∵DA平分∠BDC．

∴∠ADE=∠BDA

∵OA=OD

∴∠BDA=∠OAD

∴∠OAD=∠ADE

∴∠DAE+∠OAD=90°

即：AE是⊙O的切线

（2）在△ADE和△BDA中，

∵BD是⊙O的直径

∴∠BAD=90°

由（1）得：∠DAE=∠ABD

又∵∠BAD=∠AED

∵AB=2

求得：BD=4，AD=2

∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60°

进一步求得：CD=2

故答案为：（1）略

（2）CD=2

23． 解：（Ⅰ）函数f（x）=
+
=
?
+
≤
?
=3，

当且仅当
=
，即 x=4时，取等号，故实数M=3．

（Ⅱ）关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M，即|x﹣1|+|x+2|≤3．

由绝对值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）﹣（x+2）|=3，

∴|x﹣1|+|x+2|=3．

根据绝对值的意义可得，当且仅当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|=3，

故不等式的解集为[﹣2，1]．