沭阳银河学校2014-2015学年度第一学期12月月考高三年级数学试卷

（考试时间：150分 试卷满分160分）

一、填空题：（ 共14小题，每小题5分，共70分）

1、已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B＝

2、若复数满足：
，则在复平面内，复数z对应的点坐标是

3、阅读下面的流程图，若输入a＝10，b＝6，则输出的结果是 ．

4、某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以统计，得到如图1－1所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为

5、盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于________．

6、等差数列
中，其前项和
，若
，

则
的值为 .

7、已知实数
满足
且目标函数

的最大值是，则
的最大值为

8、函数
(
的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为
，则
=

9、函数
（
，则“
”是“函数
为奇函数”

的 条件（用“充分不必要”，“必要不充分”“充要”“既非充分又非必要”填写）

10、将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD=，则三棱锥D-ABC的体积为__________.

11、过点(，0)引直线
与曲线
相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线
的斜率等于

12、设
是等腰三角形，
，则以
为焦点且过点
的双曲线的离心率为

13、已知上的可导函数
的导函数
满足：


，且
则不等式

的解是 ．

14、在平面四边形
中，点
分别是边
的中点，且
，
．若

，则
的值为 ．

二．解答题（共六大题，90分）

15、(本小题满分14分)
中，角
所对的边分别为

且
． （I）求角
的大小；

（II）若向量
，向量
，且
，
，

求
的值．

16、（本题满分为14分）已知直三棱柱
的底面
中,
,
,
,
是
的中点，D是AC的中点 ，
是
的中点 ,

(1)证明：
平面
； （2）试证：

17、（本小题满分14分）已知函数
（
）.

(I)若
的定义域和值域均是
，求实数的值；

(II)若
在区间
上是减函数，且对任意的
，

，总有
，求实数的取值范围.

18、（本题满分为16分）

一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度成正比，与它的厚度
的平方成正比，与它的长度
的平方成反比.

(Ⅰ)将此枕木翻转90°（即宽度变为厚度），枕木的安全负荷如何变化？为什么？（设翻转前后枕木的安全负荷分别为
且翻转前后的比例系数相同，都为同一正常数
）

(Ⅱ)现有一根横断面为半圆（已知半圆的半径为）的木材，用它来截取成长方体形的枕木，其长度为10，问截取枕木的厚度为
为多少时，可使安全负荷最大？

19、（本题满分为16分）椭圆

的左、右焦点分别是
，离心率为，过
且垂直于轴的直线被椭圆
截得的线段长为

(1)求椭圆C的方程；

(2)点是椭圆
上除长轴端点外的任一点，过点作斜率为k的直线
，使得
与椭圆
有且只有一个公共点，设直线
的斜率分别为
，若
，

试证明:
为定值，并求出这个定值．

20、（本小题满分16分）已知
，

（Ⅰ）对一切
，
恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅱ）当
时，求函数
在

上的最值；

（Ⅲ）证明：对一切
，都有
成立。

高三数学12月月考试卷参考答案

一．填空题

1、 {－1，0} 2.(4，－2) 3. 2 4. 480 5.  6. 3 7.
8. 3

9. 充要 10.
11.－  12.
13.
14. 13.5

二．解答题

15．解：（I）∵

∴
， ……………2分

∴
，∴
或
……………5分

∴
……………7分

（II）∵
∴
，即
………………8分

又
，∴
，即
② ………10分

由①②可得
，∴
………………………………13分

又
∴
，∴
…………14分

16.证明：(1)连
,
为
中点，为
中点，
,…………2分

又
平面
,
平面
,
平面
………………6分

(2)直三棱柱

平面

平面
,
……………………7分

又
,
平面

平面
,
平面

…………………………………………… 9分

在
与
中，

∽

………12分

平面

平面
，

平面

…………………14分

17.解：(I) ∵
（
）,

∴
在
上是减函数，……………2分

又定义域和值域均为
，∴
，……………4分

即
， 解得
.……………6分

(II) ∵
在区间
上是减函数，∴
，……………8分

又
，且，

∴
，
.……………11分

∵对任意的
，

，总有
，

∴
， ……………13分

即
，解得
，

又
， ∴
. ……………14分

18.

解：（Ⅰ）安全负荷
为正常数）翻转
，…2分

，

当
时，
安全负荷变大. …………4分

当
，安全负荷变小；…………6分

当
时，
安全负荷不 变. ……………7分

（II）如图，设截取的宽为，厚度为
，则
.

=
（

…9分

令
得：

当
时
函数在
上为增函数；

当
时
函数在
上为减函数；

当
时，安全负荷最大。…………14分，此时厚度
…………15分

答：当问截取枕木的厚度为
时，可使安全负荷最大。…16分

（说明：范围不写
扣1分）

19、解：(1)由于c2＝a2－b2，将x＝－c代入椭圆方程＋＝1，

得y＝±.由题意知 ＝1，即a＝2b2. ……………2分

又e＝＝， ………… …4分

所以a＝2，b＝1. ……………5分

所以椭圆C的方程为＋y2＝1. ……………6分

(2)设P(x0，y0)(y0≠0)，则直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)．

联立 ………………8分

整理得(1＋4k2)x2＋8(ky0－k2x0)x＋4(y－2kx0y0＋k2x－1)＝0.

由题意Δ＝0，

即(4－x)k2＋2x0y0k＋1－y＝0. ………………10分

又＋y＝1，

所以16yk2＋8x0y0k＋x＝0，

故k＝－. ……………12分

由(2)知＋＝＋＝， ……………15分

所以＋＝＝·＝－8，

因此＋为定值，这个定值为－8. ……………16分

20.

解：（Ⅰ）对一切
恒成立，即
恒成立.也就是

在
恒成立.………2分

令
，

则

，……3分

在
上

，在
上

，因此，
在
处取极小值，也是最小值，即
，所以
.……5分

（Ⅱ）当

，

，由

得
. ………6分

①当
时，在
上

，在
上

因此，
在
处取得极小值，也是最小值.
.

由于

因此，
………8分

②当
，
，因此
上单调递增，所以
，
…10分

（Ⅲ）证明：问题等价于证明
,………12分

由(Ⅱ)知
时，
的最小值是
，当且仅当
时取得，..14分

设
，则

，易知

，当且仅当
时取到，

但
从而可知对一切
，都有
成立.…16分