南通市高级中学2014-2015年高三数学一模试卷

试题Ⅰ

注　意　事　项

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

1． 已知集合
，
，
，则
▲ ．

2． 若
（其中
表示复数z的共轭复数），则复数z的模为 ▲ ．

3． 已知函数
在
处的导数为
，则实数
的值是 ▲ ．

4． 根据国家质量监督检验检疫局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》

(GB19522—2004)中规定车辆驾驶人员血液酒精含量：“饮酒驾车”的临界值为20mg/100ml；

“醉酒驾车”的临界值为80mg/100ml．某地区交通执法部门统计了5月份的执法记录数据：

根据此数据，可估计该地区5月份“饮酒驾车” 发生的频率等于 ▲ ．

5． 要得到函数
的函数图象，可将函数
的图象向右至少平移 ▲ 个单位．

6．在平面直角坐标系xOy中，“直线
，
与曲线
相切”的充要条件是

“ ▲ ”．

7． 如图，
表示第i个学生的学号，
表示第i个学生的成绩，已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、 372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 ▲ ．

8． 在△ABC中，若

，则
▲ ．

9． 已知
是
上的奇函数，且
时，
，则不等

式
的解集为 ▲ ．

10．设正四棱锥的侧棱长为1，则其体积的最大值为 ▲ ．

11．已知平面向量
，
，
满足
，
，
，
的夹角等

于
，且
，则
的取值范围是 ▲ ．

12．在平面直角坐标系xOy中，过点
、
分别作x

轴的垂线与抛物线
分别交于点
，直线
与 x轴交于点
，这样就称

确定了
．同样，可由
确定
，…，若
，
，则
▲ ．

13．定义：
{x，y}为实数x，y中较小的数．已知
，其中a，b 均为正实数，则h的最大值是 ▲ ．

14．在平面直角坐标系xOy中，直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆
上，其中
为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为
，则实数
的值为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证

明过程或演算步骤．

15．（本题满分14分）

已知函数
．

（1）求
的最小正周期和值域；

（2）若

为
的一个零点，求
的值．

16．（本题满分14分）

如图，在边长为1的菱形ABCD中，将正三角形BCD沿BD向上折起，折起后的点C记为
，且

（
）．

（1）若
，求二面角C—BD—
的大小；

（2）当
变化时，线段
上是否总存在一点

E，使得A
//平面BED？请说明理由．

17．（本题满分15分）

在平面直角坐标系
中，设A、B是双曲线
上的两点，
是线段AB的中点，

线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点．

（1）求直线AB与CD的方程；

（2）判断A、B、C、D四点是否共圆？若共圆，请求出圆的方程；若不共圆，请说明理由．

18．（本题满分15分）

某省高考数学阅卷点共有400名阅卷老师，为了高效地完成文、理科数学卷的阅卷任务，需将400名阅卷老师分成两组同时展开阅卷工作，一组完成269捆文科卷，另一组完成475捆理科卷．根据历年阅卷经验，文科每捆卷需要一位阅卷老师工作3天完成，理科每捆卷需要一位阅卷老师工作4天完成．（假定每位阅卷老师工作一天的阅卷量相同，每捆卷的份数也相同）

（1）如何安排文、理科阅卷老师的人数，使得全省数学阅卷时间最省？

（2）由于今年理科阅卷任务较重，理科实际每捆卷需要一位阅卷老师工作4.5天完成，在按（1）分配的人数阅卷4天后，阅卷领导小组决定从文科组抽调20名阅卷老师去阅理科卷，试问完成全省数学阅卷任务至少需要多少天？（天数精确到小数点后第3位）

（参考数据：
，
，
，
）

19．（本题满分16分）

已知函数
的导函数
是二次函数，且
的两根为
．若
的极大值与极小值

之和为0，
．

（1）求函数
的解析式；

（2）若函数在开区间
上存在最大值与最小值，求实数
的取值范围．

（3）设函数
，正实数a，b，c满足
，证明：
．

20．（本题满分16分）

设首项为1的正项数列
的前n项和为
，数列
的前n项和为
，且
，

其中
为常数.

（1）求
的值；

（2）求证：数列
为等比数列；

（3）证明：“数列
，
，
成等差数列，其中x、y均为整数”的充要条件是“
，

且
”．

试题Ⅱ（附加题）

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若

多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．（几何证明选讲）

如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切

半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的

中点，求BC的长．

B．（矩阵与变换）

已知矩阵
的属于特征值
的一个特征向量为
，求实数
、
的值．

C．（极坐标与参数方程）

在平面直角坐标系xOy中，已知点
在曲线
（
为参数，
为正常数），求
的

值．

D．（不等式选讲）

设
均为正数，且
，求证：

【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文

字说明、证明过程或演算步骤．

22．已知函数
，
，求
的最大值.

23．（1）已知
，且
，求证：
；

（2）设数列
，
，
，…满足
，
（i
1，2，3，…）．

证明：对任意的正整数n，
是

关于
的一次式．

南通市数学一模试卷

参考答案

1.
； 2. 3； 3. 2； 4. 0.09； 5.
； 6.
； 7.
； 8.
；

9.
； 10.
； 11.
； 12.
； 13.
； 14. 3．

答案解析

1．易得
，则

；

2.
；

3. 易得
，则
，即
；

4. “饮酒驾车” 发生的频率等于
；

5. 将
向右至少平移
个单位得
；

6. 易得
，且
，即
；

7. 打印出的第5组数据是学号为8号，且成绩为361，故结果是
；

8. 设
，则
，
，且
，利用
可

求得
，所以
；

9. 易得
，
，故所求解集为
；

10. 法1 设正四棱锥的底面边长为
，则体积
，记
，

，利用导数可求得当
时，
，此时
；

法2 设正四棱锥的侧棱与底面所成角为
，则
，

，记
，利用导数可求得当
时，
，此时
；

15．命题立意：本题主要考查三角函数的图像与性质、两角和与差的正、余弦公式，考查运算求解

能力．

（1）易得

＝
，（5分）

所以
周期
，值域为
；（7分）

（2）由
得
，（9分）

又由
得

所以
故
，（11分）

此时，

．（14分）

16．命题立意：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象、推理论证能力．

解：（1）连结
，交
于点
，连结
，

菱形ABCD中，
，

因三角形BCD沿BD折起，所以
，

故
为二面角C—BD—
的平面角，（5分）

易得
，而
，

所以
，二面角C—BD—
的大小为
；（7分）

（2）当
变化时，线段
的中点E总满足A
//平面BED，下证之：（9分）

因为E，O分别为线段
，AC的中点， 所以
，（11分）

又
平面BED，
平面BED， 所以A
//平面BED. （14分）

17．命题立意：本题主要考查求双曲线、直线、圆等基础知识，考查运算求解与探究能力．

解：（1）设A
，则
， 代入双曲线
得

解得
或
即
的坐标为
、
，

所以
：
，
：
；（7分）

（2）A、B、C、D四点共圆，下证之：（9分）

证明：由
与
联立方程组可得

的坐标为
、
，（11分）

由三点A、B、C可先确定一个圆
①，（13分）

经检验
适合①式，所以A、B、C、D四点共圆．（15分）

（注：本题亦可以利用圆的几何性质判断四点共圆）

18．命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力．

解：（1）设文科阅卷人数为
，且
，

则阅卷时间为
（5分）

而

故
，

答：当文、理科阅卷人数分别是119,281时，全省阅卷时间最省；（8分）

（2）文科阅卷时间为：