考试用时：120分钟 试卷总分：150分

一、选择题：共10小题，每小题5分，满分50分.

1．设集合
,
,则A∪B=

A．［0,2］ B．［1,2］ C．［0,4］ D．［-1,4］

2．若复数
是纯虚数(是虚数单位，是实数)，则=

A．-1 B．1 C.
D．0

3.已知各项均为正数的等比数列
,若
,则
=

A.1 B.2 C. 4 D. 8

4.已知角
,则
是锐角的概率为

A．
B．
C.
D．

5．阅读图2的程序框图( 框图中的赋值符号“=”也可以写成“
”或“:=”)，若输出
的值等于7,那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是

A．
? B.
?

C.
? D.
?

6．设
和
为双曲线
(
)的两个焦点, 若
，
是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为

A．
B． C．
D．3

7．经过圆
的圆心G，且与直线
垂直的直线方程是

A．
B．
C．
D．

8．在三角形ABC中,角A,B,C所对应的边分别为
,已知
,
,

,则

A．
B．
C．
D．

9.已知二次函数
的图象如图3所示，则其导函数
的图象大致形状是

10．如果函数

没有零点，则的取值范围为

A．
B．

C．

D．

二、填空题：共4小题，每小题5分，满分20分.

（一）必做题：

11.若向量
,
满足|
|=|
|=2,
与
的夹角为
，则
=_______.

12.已知函数
(其中为自然对数的底数)，若
是函数
的极大值,则实数
_______.

13.已知数列{an}的前n项和为
,若点
均在函数
的图象上,且
,若数列的第
项满足
，则
________.

（二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题）

14.（坐标系与参数方程选做题）已知圆
的参数方程为
(
为参数)，则点
与圆
上的点的最近距离是 ．

15．（几何证明选讲选做题）已知
是圆
（
为圆心）的切线，切点为，
交圆
于
两点，
，则线段
的长为 .

二、解答题：共6小题，满分80分.

16．（本小题满分12分）

已知函数f(x)=Asin(x+)(A>0,0<<),xR的最大值是1，其图像经过点M
.

(1)求f(x)的解析式；

(2)已知

，且f()=
，f(
)=
，求f(
)的值.

17．（本题满分12分）

2013年春节前，有超过20万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托车沿205国道长途跋涉返乡过年，为防止摩托车驾驶人因长途疲劳驾驶，手脚僵硬影响驾驶操作而引发交事故，河源市公安交警部门在205国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘人员休息站，让过往返乡过年的摩托车驾驶人有一个停车休息的场所。交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车，就进行省籍询问一次，询问结果如图4所示：

(Ⅰ)问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？

(Ⅱ)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5名，则四川籍的应抽取几名？

(Ⅲ)在上述抽出的驾驶人员中任取2名，求至少有1名驾驶人员是广西籍的概率.

18．（本小题满分14分）

已知四棱锥
如图5-1所示，其三视图如图5-2所示，其中正视图和侧视图都是直角三角形，俯视图是矩形.其中E是PD的中点.

(Ⅰ)求此四棱锥的体积；

(Ⅱ)求证：PB//平面ACE；

(Ⅲ)求证：
PC.

19.（本小题满分14分）

已知数列
为等比数列,
,公比
,且
成等差数列.

(1)求数列
的通项公式；

(2)设
,
,求证：
.

20．（本题满分14分）

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线
的焦点，离心率为
.

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）过椭圆C 的右焦点F作直线
交椭圆C于、两点，交轴于
点，
若
，
，求证：
.

21.（本小题满分14分）

设函数
.

（Ⅰ）当
时，曲线
处的切线斜率；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）已知函数
有三个互不相同的零点0,
，且
.若对任意的
，
恒成立，求的取值范围.



而
，
，……………9分

。…12分

17.解：(Ⅰ)交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样方法.（3分）

(Ⅱ)从图中可知，被询问了省籍的驾驶人员广西籍的有：
人，

四川籍的有：
人，（4分）

设四川籍的驾驶人员应抽取名，依题意得
，解得

即四川籍的应抽取2名. （7分）

，
，
，

19. 解：(1)由已知，
，
，∴
，又
，

因而可解得
,∴
； (5分)

(2)
(6分)

首先，

(7分)； 其次，

（方法一：）

（13分）

（方法二：）

∴

（13分）

于是，有
. （14分）

20.（1）解：设椭圆C的方程为
（＞
＞
），抛物线方程化为
，其焦点为
， 则椭圆C的一个顶点为
，即
……………3分

由
，∴
，所以椭圆C的标准方程为
…6分

（2）证明：易求出椭圆C的右焦点
，……7分

设
，显然直线
的斜率存在，设直线
的方程为
，代入
并整理，得
……9分

∴
，
………………10分

又，
，
，
，
，而
，
. 即：
，

. ∴
，
…………12分

所以
………14分

21.（1）解：当
时，
，
，
，

所以曲线
处的切线斜率为1. ………3分

（2）
，令
，得到
…4分

因为
， 当x变化时，
的变化情况如下表：















+

0

-

0

+







极小值



极大值






在
和
内减函数，在
内增函数. …8分

（3）解：由题设，

所以方程
=0由两个相异的实根
，故
，且
，解得
. ……………10分

因为

若
，而
，不合题意

若
则对任意的
有

则
又
，所以函数
在
的最小值为0，于是对任意的
，
恒成立的充要条件是
,解得
. ……………13分

综上，m的取值范围是
. ……………14分