东北育才学校高中部2015届高三第三次模拟

数学试题（理科）

考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题：高三数学备课组

第I卷（选择题-共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．若集合
，则集合
不可能是（ ）

A．
B．
C．
D．

2．在复平面内，复数
（
为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．下列结论错误的是（ ）

A．命题：“若
，则
”的逆命题是假命题；

B．若函数
可导，则
是
为函数极值点的必要不充分条件；

C．向量
的夹角为钝角的充要条件是
；

D．命题
：“
，
”的否定是“
，
” ．

4．设
，若
是
与
的等比中项，则
的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

5．如图，已知在
中，
，以
为直径的圆分别交
于
，
与
交于点
，若
，
，则
的度数为（ ）

A．
B．
C．
D．

6．定义在
上的函数
满足：
且
，若
，则
的值是（ ）

A．
B．
C．
D．无法确定

7．已知不等式组
表示的平面区域恰好被圆
：
所覆盖，则实数
的值是（ ）

A．
B．
C．
D．6

8．函数
，当
时下列式子大小关系正确的是（ ）

A．
B．

C．
D．

9．直线
与圆
相交于
两点，若满足
，则
（ ）（
为坐标原点）

A．
B．
C．
D．

10．设
是
边
延长线上一点，记
．方程
，若在
上方程恰有两解，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

11．若函数
在
内的全部极值点按从小到大的顺序排列为
，则对任意正整数
必有（ ）

A．
B．

C．
D．

12．给出以下四个命题中，真命题的个数为：（ ）

①．
．

②．函数
的图象可以由函数
的图象仅通过平移得到．

③．函数
与
是同一函数．

④．在
中，若
，则
．

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中的横线上。

13．若
成等差数列，则
的值等于________．

14．
中，
分别是角
的对边，若
，且
，则
的值为________．

15．在
中，
，
，
，
是
的内心，若
（其中
），则动点
的轨迹所覆盖的面积为________．

16．若
满足
，则
的值为________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

在
中，角
的对边分别为
，且
，
，
．

（1）求
的值；

（2）求
的值．

18．（本小题满分12分）

已知首项都是
的数列
（
）满足
．

（1）令
，求数列
的通项公式；

（2）若数列
为各项均为正数的等比数列，且
，求数列
的前
项和
．

19．（本小题满分12分）

如图1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，
，
，
，点E为线段AB上异于
的点，且EF∥AD，沿EF将面EBCF折起，使平面EBCF⊥平面AEFD，如图2．

（1）求证：AB∥平面DFC；

（2）当三棱锥F-ABE体积最大时，求平面ABC与平面AEFD所成锐二面角的余弦值．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆
：
，
分别为
的左右焦点，
，且离心率
．

（1）求椭圆
的方程；

（2）设过椭圆右焦点
的直线
和椭圆交于两点
，是否存在直线
，使得
与
的面积比值为
？若存在，求出直线
的方程；若不存在，说明理由．

21．（本小题满分12分）

已知函数
．

（1）若曲线
与曲线
在交点处有共同的切线，求
的值；

（2）若对任意
，都有
恒成立，求
的取值范围；

（3）在（1）的条件下，求证：
．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。

23．（本小题满分10分）（选修4-4：极坐标系与参数方程）

（1）求直线
的普通方程和曲线
的直角坐标方程；

24．（本小题满分10分）（选修4-5：不等式选讲）

设函数
．

（1）求不等式
的解集；

（2）若不等式
对任意
恒成立，求实数
的范围．

东北育才学校高中部2015届高三第三次模拟数学试题（理科）

参考答案

选择

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

D

C

B

D

A

D

C

B

D

B

B



填空

13

14

15

16



答案













12．

提示：①②为真命题，③④为假命题，其中③的两个函数的定义域不同，④
．

17．（本小题满分12分）

（1）
；

（2）
．

18．（本小题满分12分）

（1）
；

（2）
，
．

19．（本小题满分12分）

（1）略；

（2）当
时，三棱锥F-ABE的体积最大，

平面ABC与平面AEFD所成锐二面角的余弦值为
．

20．（本小题满分12分）

（1）
；

（2）存在，直线
的方程为
或
．

21．（本小题满分12分）

（1）
，切点坐标为
；

（2）
；

（3）
等价于
．

设
，则
．

　　设
，则
．

从而可得
，即
．

22．略

23．（本小题满分10分）（选修4-4：极坐标系与参数方程）

（1）直线
的普通方程为
，曲线
的直角坐标方程为
；

（2）

24．（本小题满分10分）（选修4-5：不等式选讲）

（1）不等式
的解集为
；

（2）不等式
等价于不等式
，实数
的范围为
．