长汀一中2014-----2015学年第一学期第四次月考试题

高三数学（理科）

考试时间：120分钟 满分：150分

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ）

1. 已知全集
，集合
，集合
，那么

A.
B.
C.
D.

2. 已知
是第四象限角，且
，则

A.
B.
C.
D.

3. 在等差数列
中，已知
，则数列
的前
项和

A.
B.
C.
D.

4. 已知命题
：“
，总有
”的否定是“
，使得
”;

命题
：在
中，“
”是“
”的必要不充分条件. 则有

A.
真
真 B.
真
假 C.
假
真 D.
假
假

5．
的值为

A.
B.

C.
D.

6. 某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是

A .
B．
C．
D．

7. 设函数
，则下列关于函数

的说法中正确的是

A.
是偶函数 B.
的最小正周期为

C.
的图象关于点
对称 D.
在区间
上是增函数

8．设
满足约束条件
，若目标函数
的最小值为
，

则
的最小值为

A.
B.
C.
D.

9. 现有四个函数：①
②
③
④
的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是

第9题图

A. ④①②③ B. ①④③② C. ①④②③ D. ③④②①

10. .对于函数
和区间
，如果存在
，使得
，则

称
是函数
与
在区间
上的“互相接近点”。现给出四组函数：

①
； ②
；

③
； ④

。

则在区间
上存在唯一“相互接近点”的是

A.①② B.③④ C.②④ D.①③

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将答案填写在答题卡的相应位置．）

11. 函数
＝
，则
_________

12. 平面向量
的夹角为
，且满足
的模为
，
的模为
，则
的模为_____

13.
_________

14. 已知函数
若三个正实数
互不相等，且满足

，则
的取值范围是　　　

15.已知各项都是正数的等比数列
满足
，那么
的最小值为　　　

三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答过程须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

16.（本小题满分13分）已知函数

．

（Ⅰ）求函数
在
上的值域；

（Ⅱ）若对于任意的
，不等式
恒成立，求
的值.

17.（本小题满分13分）定义在
上的函数
满足
，且当
时，

.

（Ⅰ）求函数
在
上的解析式；

（Ⅱ）求满足
的实数
的取值范围.

18. (本小题满分13分) 已知首项为
的等比数列
是递减数列，其前
项和为
，且
，
，
成等差数列．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若
，数列
的前
项和为
，求满足不等式
的最大的
值．

19. (本小题满分13分)
处一缉私艇发现在北偏东
方向，距离

的海面
处有一走私船正以

的速度沿东偏南
方向逃窜. 缉私艇的速度为

，若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东
的方向去追，求追及所需的时间和
的值.

20．（本小题满分14分）已知函数
．

（Ⅰ）若
，求函数
的单调区间；

(Ⅱ)若函数
的图象在点
处的切线的倾斜角为
，对于任意的

，函数
（其中
是
的导函数)在区间

上总不是单调函数，求
的取值范围；

(Ⅲ)求证：不等式
对
恒成立.

21．（本小题满分14分）本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请任选2题作答，满分14分。如果多做，则按所做的前两题计分。

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

在平面直角坐标系
中，已知点
，
，
。设
为非零实数，矩阵
=
,
=
，点
，
，
在矩阵
对应的变换下得到的点分别为
、
、
，
的面积是
的面积的
倍，求
的值。

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线
的参数方程为
（t为参数），以坐标原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
，判断直线
与曲线
的位置关系

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

不等式
的解集为
，又已知
，且
,求
的最小值.

长汀一中2014-----2015学年第一学期第四次月考试题

高三数学（理科）参考解答

一、选择题

题号























答案























二、填空题

11.
12.
13.
14.

15.

三、解答题

16解：（Ⅰ）

所以
，所以
，可得

函数
在
上的值域为
； ……7分

（Ⅱ）对于任意的
，不等式
恒成立，所以
是函数
的

最大值，可得
,可得
，

所以
,
. ……13分

17. 解：（Ⅰ）由于
，知
是奇函数，当
时，
所以

即
，当
时，
. …6分

（Ⅱ）当
时，
.当
时，
，知
在
是增函数，又
是奇函数，所以
在
是增函数. 由

可得
，解得
或
，满足
的实数
的取值范围是

. ……13分

18. 解：（Ⅰ）设等比数列
的公比为
，由题知
，且
，
，
成等差数列．可得
，变形可得

，可得
所以
，

解得
或
，又等比数列
是递减数列，所以
，数列
的通项

公式
……………6分

（Ⅱ）由于
，所以数列
的其前
项和为
为

，所以可得

，两式相减可得

，由
，可得
，满足不等式

的最大的
值是
. ……………13分



19. 解：设
分别表示缉私艇、走私船的位置，经过
小时后在
处追上走私船，则有
，
，
，在
中，由余弦定理可得

，即
，解得