桥东中学2015届高中毕业班上学期期中考数学试题

（时间：120分，满分150分）20141114

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意，请把每小题正确答案的序号填在答题卡上）

1.设全集为R，集合A ={ x | x2－9＜0 }，B＝{ x | －1＜x≤5 }，则A ( ((RB)＝ （ ）

A. (－3，0) B. (－3，－1] C. (－3，－1) D. (－3，3)

2.以下说法错误的是 （ ）

A. 命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”

B. “x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件

C. 若p ( q为假命题，则p，q均为假命题

D. 若命题p：(x0∈R，使得x02＋x0＋1＜0，则( p：(x∈R，使得x2＋x＋1≥0

3.cos 45(cos 15(＋sin 225(sin 165(的值为 （ ）

A.  B. － C.  D. －

4.设向量＝(1，0)，＝(，)，则下列结论中正确的是 （ ）

A. ||＝|| B. ·＝ C. ∥ D. (－)⊥

5.设各项均不为0的数列{an}满足an＋1＝an（n≥1），Sn是其前n项和，若a2a4＝2a5，

则S4＝ （ ）

A. 4 B. 8 C. 3＋3 D. 6＋6

6.函数y＝esin x（－(≤x≤(）的大致图象为 （ ）

A B C D

7.已知函数f (x)＝，若f [f (0)]＝4a，则＝ （ ）

A. 2ln 2 B. ln 2 C. 3ln 2 D. 9ln 2

8.已知函数y＝f (x)是偶函数，且函数y＝f (x－2)在[0，2]上是单调减函数，则 （ ）

A. f (－1)＜f (2)＜f (0) B．f (－1)＜f (0)＜f (2)

C. f (2)＜f (－1)＜f (0) D．f (0)＜f (－1)＜f (2)

9.已知点O在△ABC内，且2＋3＋6＝，那么△OBC、△OCA、△OAB的面积之比为 （ ）

A. 1：2：3 B. 2：3：6 C. 3：2：1 D. 6：3：2

10.已知a，b∈R，且ex＋1≥ax＋b对x∈R恒成立，则ab的最大值是 （ ）

A. e3 B. e3 C. e3 D. e3

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把正确答案填写在答题卡上）

11.已知cos(－()＝，则sin 2(＝ .

12.向量＝(－1，2)在＝(3，4)方向上的投影等于 .

13.曲线y＝x3－1在点P(1，0)处的切线方程为 .

14.在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＋…＋a97＝150，a2＋a5＋a8＋…＋a98＝200，则前99项的和S99＝ .

15.给出下列四个命题：

①函数y＝sin(2x－)的图象可由函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位得到；

②函数y＝lg x－sin 2x的零点个数为5；

③在锐角△ABC中，sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C；

④“等比数列{an}是递增数列”的一个充分不必要条件是“公比q＞1”

其中所有正确命题的序号是 .

三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.（本小题满分13分）已知向量＝(sinωx，cosωx)，＝(cosωx，cosωx)，其中ω＞0，函数f (x)＝2·－1的最小正周期为π.

（I）求ω的值；

（II）求函数f (x)在[，]上的取值范围.

17.（本小题满分13分）记公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝9，a3，a5，a8成等比数列．

（I）求数列{an}的通项公式an及Sn；

（II）设bn＝2n·an，求Tn＝b1＋b2＋…＋bn.

18.（本小题满分13分）如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝.

（I）求sin∠BAD；

（II）求BD，AC的长.

19.（本小题满分13分）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（x∈N*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10(a－)万元（a＞0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2 x%.

（I）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？

（II）在（I）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？

20.（本小题满分14分）已知函数f (x)＝ax－ln x（a∈R）.

（I）求f (x)的单调区间；

（II）当a＞0时，求f (x)在区间(0，e]上的最小值.

21.本题有⑴、⑵、⑶三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．

⑴（选修4-2矩阵与变换）

在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx在矩阵对应的变换下得到的直线过点P(4，1)，求实数k的值.

⑵（选修4-4坐标系与参数方程）

在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

已知曲线C的极坐标方程为(＝2，直线l经过点P(6，7)，倾斜角为?，且cos?＝．

①化曲线C的极坐标方程为直角坐标方程；

②求直线l的参数方程，并判断直线l与曲线C的位置关系．

⑶（选修4-5不等式选讲）

已知正数x，y，z满足x2＋y2＋z2＝1．

①求x＋2y＋2z的最大值；

②若不等式| a－3 |≥x＋2y＋2z对一切正数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．

桥东中学2015届高三上学期期中考数学参考答案

17【解】（I）由a3，a5，a8成等比数列得a52＝a3a8，又S3＝9， （1分）

由此得，解得，a1＝2，d＝1 （5分）

∴an＝n＋1，Sn＝＝n2＋n （7分）

（II）bn＝2n·an＝(n＋1)·2n

∴Tn＝2·2＋3·22＋4·23＋…＋(n＋1)·2n

2Tn＝ 2·22＋3·23＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1 （9分）

两式相减得，

－Tn＝2·2＋22＋23＋…＋2n－(n＋1)·2n＋1

＝2＋－(n＋1)·2n＋1 （11分）

＝－n·2n＋1 （12分）

∴Tn＝n·2n＋1 （13分）

18【解】（I）在△ADC中，因为cos∠ADC＝，且∠ADC∈(0，()，

∴所以sin∠ADC＝＝ （2分）

∴sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADCcos B－cos∠ADCsin B

＝×－×＝ （6分）

（II）在△ABD中，由正弦定理得＝，且sin∠ADB＝sin∠ADC＝

∴BD＝＝＝3 （9分）

在△ABC中，由余弦定理得，

AC2＝AB2＋BC2－2AB·Bccos B＝82＋52－2×8×5×＝49 （12分）

∴AC＝7 （13分）

19【解】（I）由题意得10(1000－x)(1＋0.2x%)≥10×1000 （3分）

即x2－500≤0，又x＞0，所以0＜x≤500

答：最多调整出500名员工从事第三产业 （5分）

（II）从事第三产业的员工创造的年总利润为10(a－)x万元万元，从事原来产业的员工创造的年总利润为10(1000－x)(1＋0.2x%)万元，

则10(a－)x≤10(1000－x)(1＋0.2x%) （8分）

∴a－≤＋1－

∴a≤＋＋1恒成立 （10分）

∵＋≥2＝4

当且仅当＝，即x＝500时等号成立 （12分）

∴a≤5，又a＞0，故a的取值范围是(0，5] （13分）

20【解】（I）f ((x)＝a－＝（x＞0） （1分）

①当a≤0时，由于x＞0，故＜0

∴f (x) 的单调递减区间为(0，＋∞) （3分）

②当a＞0时，由f ((x)＝0得x＝

当x∈(0，)，f ((x)＜0，f (x)为减函数；

当x∈(，＋∞)，f ((x)＞0，f (x)为增函数. （5分）

综上，当a≤0时，函数f (x)的单调递减区间为(0，＋∞)；当a＞0时，函数f (x)的单调递减区间为(0，)，单调递增区间为(，＋∞). （7分）

（II）根据（I）得到的结论，

当≥e，即0＜a≤时，f (x)在(0，e]上为减函数，f (x)min＝f (e)＝ae－1 （9分）

当＜e，即a＞时，f (x)在(0，)上为减函数，在(，e]上为增函数

∴f (x)min＝f ()＝1＋ln a （12分）

综上，当0＜a≤时，f (x)在区间(0，e]上的最小值为ae－1，当a＞，f (x)在区间

(0，e]上的最小值为1＋ln a （14分）

21.【解】⑴设直线y＝kx上任一点P(x，y)在矩阵对应的变换下得到点P((x(，y()

则＝，即，即 （3分）

又点P(x，y)在直线y＝kx上，所以x(＝ky(，

把点(4，1)代入上式，得到4＝k

∴k＝4 （7分）

⑵①由(＝2，得(2＝4，则曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝4 （2分）

②直线的倾斜角(∈(0，()，又cos(＝＞0，故sin(＝

∴直线l的参数方程为（t为参数） （4分）

把直线l的参数方程代入圆的方程得(6＋t)2＋(7＋t)2＝4

整理得，t2＋18t＋81＝0

∵(＝182－4×81＝0

∴直线l与圆C相切. （7分）

⑶①给出两组数：x y z

1 2 2

由柯西不等式(x2＋y2＋z2)(12＋22＋22)≥(x＋2y＋2z)2

又x2＋y2＋z2＝1，所以(x＋2y＋2z)2≤9

∴x＋2y＋2z≤3，即x＋2y＋2z的最大值为3

当且仅当，即x＝，y＝z＝时取最大值. （4分）

②由①得，不等式| a－3 |≥x＋2y＋2z对一切正数x，y，z恒成立，

当且仅当| a－3 |≥3成立. （5分）

则a－3≥3，或a－3≤－3，即a≥6，或a≤0

∴实数a的取值范围是a≥6，或a≤0 （7分）