1.全集
，
，则集合

A．{1，3} B．{0，1，3} C．{0，3} D．{2}

2. 若角的终边在第二象限且经过点
，则
等于

A．
B．
C．
D．

3．已知数列
满足
，
，则
的前10项和等于

A.
B.
C.
D.

4．已知
均为单位向量，它们的夹角为
，则
等于

A．1 B．
C．
D．2

5．下列说法正确的是

A．
是“函数
是奇函数”的充要条件

B．“向量
，若
，则
”是真命题

C．
的否定是

D．“若
，则
”的否命题是“若
，则
”

6．在
中,内角、、
所对的边分别是、
、,若
,则
是

A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形

8.已知函数
的图像在点
处的切线
与直线
垂直，若数列
的前项和为
，则
的值为

A.
B.
C.
D.

9．已知函数
与直线
相交，若在轴右侧的交点自左向右依次记为
，
，
，
，则
等于

A．
B．
C．
D．

10．已知
是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数
满足

考察下列结论：①
；②
为偶函数；③数列
为等比数列；④数列
为等差数列。其中正确的结论是

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．

11.计算：
= .

12．已知向量
，

，若向量
，则实数
的值为___.

13．已知
，
，且
，
，则
_________ .

14. 等差数列
的前n项和为
,
,
,当
取最小值时,n等于　　　 .

15. 直线
与函数
的图像相切于点，且
，
为坐标原点，为图像的极大值点，
与轴交于点，过切点作轴的垂线，垂足为
，则
=__________.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分13分）

等差数列
满足
，
，数列
的前项和为
，且
，求数列
和
的通项公式.

17.（本小题满分13分）

在平面直角坐标系中，角，
的始边为轴的非负半轴，点
在角的终边上，点
在角
的终边上，且
.

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）求
的坐标并求
的值.

18．（本小题满分13分）

若向量
其中
，记函数
，若函数
的图像与直线
（为常数）相切，并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列.

（Ⅰ）求
的表达式及的值；

（Ⅱ）将函数
的图像向左平移
，得到
的图像，当
时，
与
图象的交点横坐标成等比数列，求钝角的值.

20. （本小题满分14分）

已知函数
的导函数是
，
在
处取得极值，且
，

（Ⅰ）求
的极大值和极小值；

（Ⅱ）记
在闭区间
上的最大值为
，若对任意的
总有

成立，求的取值范围；

（Ⅲ）设
是曲线
上的任意一点．当
时，求直线OM斜率的最小值，据此判断
与
的大小关系，并说明理由．

21. 本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

(1)（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

已知矩阵

．

(Ⅰ) 求的逆矩阵
；

(Ⅱ)求矩阵的特征值
、
和对应的一个特征向量
、
．

(2)（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，直线
的方程为
，曲线
的参数方程为

．

(Ⅰ)已知在极坐标系（与直角坐标系
取相同的长度单位，且以原点
为极点，以轴正半轴为极轴）中，点的极坐标为
，判断点与直线
的位置关系；

(Ⅱ)设点
是曲线
上的一个动点，求它到直线
的距离的最小值．

(3)（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲

已知
且
，若
恒成立，

(Ⅰ)求的最小值；

(Ⅱ)若
对任意的
恒成立，求实数
的取值范围.

稿 纸

福州八中2014—2015学年高三毕业班第三次质量检查

数学(理)试卷参考答案及评分标准

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．

BABCD DCBAD

二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分．

11.
12．
13．
14. 6 15.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

18．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）

……4分

由题意可知其周期为，故
，则
，
.…………7分

（Ⅱ）将
的图像向左平移
，得到
，……9分

由其对称性，可设交点横坐标分别为
， 有

………………11分

则
……13分

19.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为四边形ABCD内接于圆，

所以∠ABC＋∠ADC＝180°，连接AC，由余弦定理：

AC2＝42＋62－2×4×6×cos∠ABC＝42＋22－2×2×4cos∠ADC.

所以cos∠ABC＝，∵∠ABC∈(0，π)，故∠ABC＝60°.

S四边形ABCD＝×4×6×sin60°＋×2×4×sin120°

＝8(万平方米)．…………………………………………3分

在△ABC中，由余弦定理：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC

∴R＝(万米)……………………7分

（Ⅱ）∵S四边形APCD＝S△ADC＋S△APC，又S△ADC＝AD·CD·sin120°＝2，

设AP＝x，CP＝y.则S△APC＝xy·sin60°＝xy. ……………………………9分

又由余弦定理AC2＝x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy＝28.

∴x2＋y2－xy≥2xy－xy＝xy.

∴xy≤28，当且仅当x＝y时取等号……………………11分

∴S四边形APCD＝2＋xy≤2＋×28＝9，

∴最大面积为9万平方米．………………………………13分

20. （本小题满分14分）

解：（I）依题意，
，解得
，　　 ……………………1分

由已知可设
，

因为
，所以
，

则
，导函数
．　　…………………………3分

列表：



1

（1,3）

3

（3，＋∞）





+

0

-

0

+





递增

极大值4

递减

极小值0

递增



由上表可知
在
处取得极大值为
，

在
处取得极小值为
．　………………………………5分

（Ⅱ）①当
时，由（I）知
在
上递增，

所以
的最大值
，　　　　　…………6分

由
对任意的恒成立，得
，

则
，因为
，所以
，则
，

因此
的取值范围是
．　　　　　　………………………………8分

②当
时，因为
，所以
的最大值
，

由
对任意的恒成立，得
， ∴
，

因为
，所以
，因此
的取值范围是
，………………9分

综上①②可知，
的取值范围是
．　　　　　　　　……………10分

21. (1)（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

解：(Ⅰ)
, …………1分

∴
. …………2分

(Ⅱ) 矩阵的特征多项式为


， ………………3分

令
，得
, …………5分

当
时，得
,当
时，得
. …………7分

(2)（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程

解：（I）把极坐标系下的点
化为直角坐标得
，

满足方程
，点在直线
上.……………2分

（II）解法一、因为点
是曲线
上的点，故可设点
的坐标为
， 所以点
到直线
的距离

……………5分

所以当
时，
取得最小值
……………7分

解法二、曲线
的普通方程为：
，…………1分

平移直线
到
使之与曲线
相切，设
，

由
得：
，即：
…2分

由
，解得：
，………5分

曲线
上的点
到
距离的最小值
.…………7分

(3)（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲

解：（Ⅰ）
，

，（当且仅当
，即
时取等号）

又∵
恒成立，∴
.

故的最小值为3. …………………………4分

（II）要使
恒成立，须且只须
.

∴
或
或

∴
或
. …………………7分