1. 已知复数
，若是纯虚数，则实数等于

A． B． C．
D．

2. 已知命题
，则

A．
B．

C．
D．

3. 已知，为两条不同的直线，，
为两个不同的平面，则下列命题中正确的是

A ．
B．

C．
D．

4. 如图，三棱柱
的侧棱长

和底面边长均为，且侧棱
底面
，

其正（主）视图是边长为的正方形，则此三

棱柱侧（左）视图的面积为

A．
B．

C．
D．

5. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个数，分别有下列事件：①恰有一个是奇数或恰有一个是偶数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.其中为互斥事件的是

A. ① B. ②④ C. ③ D. ①③

6．如果一个水平放置的图形的斜二侧直观图是一个底角为45°，腰和上底都为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是

A. 2+
B.
C.
D.1+

7.等差数列
中
，则

A.
B.
C.
D.

8.已知正四棱锥
的侧棱长与底面边长都相等，是
的中点，则
所成的角的余弦值为

A．
B．
C．
D．

9．数列｛an｝，若a1，a2－a1，a3－a2 ，…，an－an-1，…是首项为1，公比为
的等比数列，则an＝

A.
(1－
) B.
(1－
) C.
(1－
) D.
(1－
)

10．已经函数
，则
在[0，2]上的零点个数为

A．1 B．2 C．3 D．4

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在答题纸上。

13.设实数x，y满足条件
，则z＝2x－y的最大值是

14.△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2acosC+ccosA=b,

则sinA+sinB的最大值为

15.已知四面体ABCD的所有棱长均为
，顶点A、B、C在半球的底面内，顶点D在半球球面上，且在半球底面上的射影为半球球心，则此半球的体积是

16. 若函数f(x)为定义域D上的单调函数,且存在区间
(其中a

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. （本小题满分12分）

在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1=b1=1，b4=8，{an}的前10项和S10=55.

（Ⅰ）求an和bn；

（Ⅱ）现分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率。

18．（本小题满分12分）

已知平面向量
若函数
.

（Ⅰ）求函数
的最小正周期；

（Ⅱ）将函数
的图象上的所有的点向左平移1个单位长度，得到函数
的图象，若函数
在
上有两个零点，求实数
的取值范围.

19. （本小题满分12分）

数列
满足

（Ⅰ）证明：数列
是等差数列；

（Ⅱ）设
，求数列
的前项和

20. （本小题满分12分）

在如图所示的几何体中，面
为正方形，面
为等腰梯形，
//
，
，
，
．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求四面体
的体积；

（Ⅲ）线段
上是否存在点
，使
//平面
？

证明你的结论．

21. （本小题满分12分）

杭州某通讯设备厂为适应市场需求，提高效益，特投入98万元引进世界先进设备奔腾6号，并马上投入生产.第一年需要的各种费用是12万元，从第二年开始，所需费用会比上一年增加4万元，而每年因引入该设备可获得的年利润为50万元.

请你根据以上数据，解决下列问题：

（1）引进该设备多少年后，开始盈利？

（2）引进该设备若干年后，有两种处理方案：

第一种：年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；

第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.

哪一种方案较为合算？请说明理由.

22.（本小题满分14分）

若存在实常数
和
，使得函数
和
对其定义域上的任意实数分别满足：
和
，则称直线
为
和
的“隔离直线”．已知
，
为自然对数的底数)．

（1）求
的极值；

（2）函数
和
是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

福州八中2014—2015学年高三毕业班第三次质量检查

数学(文)试卷参考答案及评分标准

一、选择题：（每小题5分，满分60分）

1.B 2. C 3.A 4.B 5. C 6． A

7. B 8. C 9.A 10． B 11．B 12. B

二、填空题（每小题4分，满分16分）

13. 1 14.
15.
16.

18．解:（Ⅰ）∵
函数

∴
------ 1分

-------3分

∴
∴函数
的最小正周期为8．---- 6分

（Ⅱ）依题意将函数
的图像向左平移1个单位后得到函数

-------8分

函数
在
上有两个零点，即函数
与
在
有两个交点，如图所示。所以
， -------10分

即

所以实数
取值范围为
．------- 12分

19. 解：（Ⅰ）证：由已知可得
，即
--------3分

所以
是以
为首项，1为公差的等差数列。--------5分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得
，------6分

所以
，从而
------7分

------8分

------9分

①－②得：

所以
12分

20. （Ⅰ）证明：在△
中，

因为
，
，
，

所以
． ------2分

又因为
，

所以
平面
． ------4分

（Ⅱ）解：因为
平面
，所以
．

因为
，所以
平面
．

在等腰梯形
中可得
，所以
．

所以△
的面积为
．

所以四面体
的体积为：
． ------8分

（Ⅲ）解：线段
上存在点
，且
为
中点时，有
// 平面
，证明如下：

连结
，与
交于点
，连接
．

因为
为正方形，所以
为
中点．所以
//
．

因为
平面
，
平面
， 所以
//平面
．

所以线段
上存在点
，使得
//平面
成立． ------12分

21.解：（1）设引进设备n年后开始盈利，盈利为y万元，

则y=50n－（12n+
×4）－98=－2n2+40n－98，------3分

由y＞0，得10－
＜n＜10+
. ------4分

∵n∈N*，∴3≤n≤17，即3年后开始盈利. ------5分

（2）方案一：年平均盈利为
，
=－2n－
+40≤－2
+40=12，------7分

当且仅当2n=
，即n=7时，年平均利润最大，共盈利12×7+26=110万元.---9分

方案二：盈利总额y=－2（n－10）2+102，n=10时，y取最大值102，

即经过10年盈利总额最大， 共计盈利102+8=110万元. ------11分

两种方案获利相等，但由于方案二时间长，所以采用方案一合算. ------12分

(2)解：由（1）可知函数
和
的图象在
处有公共点，因此若存在
和
的隔离直线，则该直线过这个公共点．

设隔离直线的斜率为
，则直线方程为
，即
． ------7分

由
，可得
当
时恒成立．

， 由
，得
． ------9分

下面证明
当
时恒成立．

令

，则

， 当
时，
． ------11分

当
时，
，此时函数
递增；

当
时，
，此时函数
递减；

∴当
时，
取极大值，其极大值为
． ------13分

从而
，即
恒成立

∴函数
和
存在唯一的隔离直线
． ------14分