武平县第一中学2015届高三上学期12月月考

数学（理）试题

一、选择题(每题5分总计50分)

1．已知集合
，B=
，则
( )

A.
B.
C.
D.

2．已知向量
，若
与
共线，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

3．设
是两条不同的直线，
，
是两个不同的平面，则能得出
的是（ ）

A．
，
，
B.
，
，

C.

，
，
D.

，
，

4．已知命题
：
，
，命题
：
，
，则下列说法中正确的是（ ）

A、命题
是假命题 B、命题
是真命题

C、命题
是真命题 D、命题
是假命题

5．函数
的零点所在的大致区间是（ ）

A.
B.
C.
D.

7．计算
的结果为（ ）.

A．1 B．
C．
D．

8．已知实数
满足：
，
，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知函数
的图象如图所示，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

10．设二次函数
的值域为[0，+∞），则
的最大值是（　　）

Ａ．
　　　　　　Ｂ．2　　　　　Ｃ．
　　　　　　Ｄ．

二、填空题（每题4分总计20分）

11．已知α：x≥a，β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．

12．化简
=

13．已知正三棱柱底面边长是2，外接球的表面积是
，则该三棱柱的侧棱长 ．

14．已知
是单位向量,
.若向量
满足
____ __．

15．下列说法：

①“?x∈R,2x＞3”的否定是“?x∈R,2x≤3”；

②函数y＝sin
sin
的最小正周期是π；

③命题“函数f(x)在x＝x0处有极值，则f′(x0)＝0”的否命题是真命题；

④f(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，x＞0时的解析式是f(x)＝2x，则x＜0时的解析式为f(x)＝－2－x.其中正确的说法是________．

三解答题（13+13+13+13+14+14=80分）

16．已知向量
．

（1）当
时，求
的值；

（2）求
在
上的值域．

17．已知函数
处取得极值.

（1）求
的值；

（2）求
的单调区间；

（3）若当
时恒有
成立，求实数c的取值范围.

20．已知函数f（x）＝lnx＋
ax2－（a＋1）x（a∈R）.

（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]上的最小值为－2，求实数a的值；

（3）若对?x1，x2∈（0，＋∞），x1＜x2，且f（x1）＋x1＜f（x2）＋x2恒成立，求实数a的取值范围.

21（Ⅰ）在极坐标系内，已知曲线
的方程为
，以极点为原点，极轴方向为
正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线
的参数方程为
（
为参数）.

（1）求曲线
的直角坐标方程以及曲线
的普通方程；

（2）设点
为曲线
上的动点，过点
作曲线
的切线，求这条切线长的最小值.

（Ⅱ）已知
，且不等式
解集为
.

（1）求正实数
的大小；

（2）已知
，且
，求
的最小值．

数学月考参考答案2014.12.15

1-10．BDCCB CCCCC

10由二次函数特点可知，在定义域R上其值域为
，则
,且
,即
.

欲求
的最大值，利用前面关系，建立
，由
，故选C.

11．(－∞，0] 12.
13．
．14．
． 15．①④

16．1）
∴
，∴

（2）

∵
，∴
，∴

∴
∴函数
．

17．解：（1）由
解得：

（2）根据题意，由于
处取得极值.则可知，
，在
上递减

（3）由（2）可知
在
的最大值在
中产生，

得：

19【解：(1)由题意，AB＝x，BC＝2－x.x>2－x，故1

设DP＝y，则PC＝x－y.又△ADP≌△CB′P，故PA＝PC＝x－y.

由PA2＝AD2＋DP2，

得(x－y)2＝(2－x)2＋y2，y＝2(1－
)，1

(2)记△ADP的面积为S1，

则S1＝(1－
)(2－x)＝3－(x＋
)≤3－2
，

当且仅当x＝
∈(1,2)时，S1取得最大值．

故当薄板长为
米，宽为(2－
)米时，节能效果最好．

20．（1）当a＝1时，
.

因为f '（1）＝0，.
所以切线方程为

（2）函数
的定义域是
.

当a＞0时，

令f '（x）＝0，即
，

所以x＝1或
.

①当
，即a≥1时，f（x）在［1，e]上单调递增，

所以f（x）在［1，e]上的最小值是
，解得
；

②当
时，f（x）在［1，e]上的最小值是
，即
令
，
，

可得：
，

而
，
，不合题意，舍去；

③当
时，f（x）在[1，e]上单调递减，

所以f（x）在［1，e]上的最小值是
，

解得
，不合题意，舍去. 综上：a＝2.

（3）设g（x）＝f（x）＋x，则
，

只要g（x）在（0，＋∞）上单调递增即可.

而

当a＝0时，
，此时g（x）在（0，＋∞）上单调递增；

当a≠0时，只需g'（x）≥0在（0，＋∞）上恒成立，

因为x∈（0，＋∞），只要ax2－ax＋1≥0，

则需要a＞0 对于函数y＝ax2－ax＋1，过定点（0，1），对称轴
，只需

即0＜a≤4. 综上0≤a≤4.

21．（Ⅰ）（1）对于曲线
的方程为
，

可化为直角坐标方程
，即
；

对于曲线
的参数方程为
（
为参数），

可化为普通方程
.

（2）过圆心
点作直线
的垂线，此时切线长最小，

则由点到直线的距离公式可知，
，

则切线长
.

（Ⅱ）（1）因为
，所以
.

所以

又
的解集是
，故
.

（2）由(1)知
，
，由柯西不等式得

∴
的最小值为9