2014年秋季安溪八中高三年期中质量检测数学试题 (理科)

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．

1.已知集合
，集合
，则
（ ）

A．
B．

C．
D．

2.函数
的定义域是( )

A.
B.
C.
D.

3.
等于 ( )

A.
B.
C.
D.

4.函数
的图像大致是( )

5. 为了得到函数
的图象，可以将函数
的图象（ ）

A．向右平移
个单位长度 B．向右平移
个单位长度

C．向左平移
个单位长度 D．向左平移
个单位长度

6．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，且f(2)＝0，则不等式
的解集为 (　　)

A．(－∞，－2)∪(0,2) B．(－∞，－2)∪（2，＋∞)

C．（－2,0）∪（2，＋∞) D．（－2,0)∪(0,2)

7.若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间上是减函数，那么实数a的取值范围是(　　)

A．a≥3　　　　B．a≤－3 C．a<5 D．a≥－3

8．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)

的部分图像如图1所示，则
=( )

A.
B.
C.
D.

9.若实数
，则函数f（x）＝2sinx十acosx的图象的一条对称轴方程为( )

A.
B.
C.
D.

10．已知方程
,若对任意
，都存在唯一的
使方程成立；且对任意
，都有
使方程成立，则
的最大值等于（ ）

A．2 B． 0 C．1 D． -2

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卷相应位置．

11．在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝________;

12．已知函数
，则
__________；

13. 已知函数
既存在极大值又存在极小值，则实数的取值范围是___________________．

14． 函数
与轴，直线
围成的图形的面积是__________；

15．设
，其中
. 若
对一切
恒成立，则 ①
; ②
的图像关于
对称；

③
的单调递增区间是
； ④
；

⑤存在经过点
的直线与函数
的图象相交．

以上结论正确的是__________________（写出所有正确结论的编号）．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分13分）

已知函数
，求
在区间
上的最值.

17. （本小题满分13分）

如图，以Ox为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点

P的坐标为
.

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)若
，求sin(α＋β)．

18. （本小题满分13分）

已知函数

（Ⅰ）求函数
的单调递增区间；

（Ⅱ）当
时，求函数
的值域．

19. （本小题满分13分）

某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是(亿元)和
(亿元)，它们与投资额t(亿元)的关系有经验公式
，
,今该公司将5亿元投资这两个项目，其中对甲项目投资x(亿元)，投资这两个项目所获得的总利润为y(亿元)．求:

(Ⅰ)y关于x的函数表达式；

(Ⅱ)求总利润的最大值．

20.（本小题满分14分）

在
中，角、、
的对边分别为、
、，若函数
为偶函数，且
．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若△
的面积为
，其外接圆半径为
，求△
的周长．

21．（本小题满分14分）

设函数
（
），
．

(Ⅰ) 若函数
与
在点P（1,c）处有相同的切线，求实数
的值；

(Ⅱ) 关于的不等式
的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围；

(Ⅲ) 对于函数
与
定义域上的任意实数，若存在常数
，使得
和
都成立，则称直线
为函数
与
的“分界线”．设
，
，试探究
与
是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

2014年秋季安溪八中高三年期中质量检测

数学试题 (理科)参考答案

一、选择题：DADBB CBDCA

10．解析：原方程
化为：
画出此函数的图象，由图象知：对任意y∈[0，1]，都有x∈[a，b]（a，b∈Z）使方程成立，得出：[a，b]?[-2，2]；又对任意

x∈[a，b]（a，b∈Z），都存在唯一的y∈[0，1]使方程成立；得出：[a，b]可能为[-2，0]，

[-2，1]，[0，2]，[-1，2]，[-2，2]五种情况；故a+b的最大值为：2．

二、填空题：

11．
12． -1 13. (－∞，－3)∪(6，＋∞)

14．
15．①④⑤

三、解答题：

16．解:∵

∴
………………3分

∴
解得
或3. ………………5分

x,
取值情况列表如下







3







+

0

-

0

+







极大值



极小值





 ………………8分

∴
.………………10分

又

∴
……13分

17.解：(Ⅰ)由三角函数定义得cosα＝－，sinα＝. ………… 2分

∴原式＝
………… 4分

=

＝
………… 6分

=
=
………… 7分

(Ⅱ)∵
，∴α－β＝.∴β＝α－，………… 9分

∴sinβ＝sin＝－cosα＝，

cosβ＝cos＝sinα＝. ………… 11分

∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ

＝×＋×

＝. ………… 13分

18. 解：

………… 4分

（Ⅰ）由
，得
，

所以
的单调递增区间为
，
………… 8分

（Ⅱ）∵
∴

∴
………… 12分

∴

∴函数
的值域为
………… 13分

19. 解：(Ⅰ)根据题意，得y=
x∈[0，5]．………… 4分

(Ⅱ)令t=
，t∈［0,
］，则x=
，………… 7分

………… 10分

因为2∈［0,
］，所以当
=2时，即x=2时，y取最大值0.875．………… 12分

答：总利润的最大值是0.875亿元．………… 13分

20.解：（Ⅰ）∵
是偶函数，

∴
，即
，∴
…………………2分

又
，∴
，即
，………………4分

∴
，又
∴
．……………………6分

（Ⅱ）∵△
的外接圆半径为
，

∴根据正弦定理
得，
，
．…………8分

又
，∴
． ……………………10分

在△
中，根据余弦定理得，

，即
，
…………12分

∴
，∴
，

∴△
的周长等于
．……………………………………13分

20.解：（Ⅰ）∵
，
∴
，
……1分

依题意的
即　
……3分

解得
…………4分

（Ⅱ）解法一:不等式
的解集中的整数恰有3个，

等价于
恰有三个整数解，故
，　　　　　　

令
，由
且
，

所以函数
的一个零点在区间
，

则另一个零点一定在区间
，故
解之得
．…8分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

…………9分

…………10分

…………11分

…12分

下面证明
恒成立．

设
，则
．

所以当
时，
；当
时，
．

因此
时
取得最大值
，则
成立．………13分

故所求“分界线”方程为：
．　…………14分