杭州二中2015届高三第二次月考

数学（理）试题

第I卷（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1、若集合
，
，则

A．
B．
C．
D．

2、实数等比数列
中，
，则“
”是“
” 的（ ）

A.充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3、已知圆
，直线
，则与
的位置关系是

A．一定相离 B．.一定相切 C．相交且一定不过圆心 D．相交且可能过圆心

4、已知实数等比数列
公比为
，其前
项和为
，若
、
、
成等差数列，则
等于（ ）

A．
B．1 C．
或1 D．

5、已知
、
满足
，且
的最大值是最小值的
倍，则
的值是 （ ）

A．
B．
C．
D．

6、等差数列
前n项和为
，已知
，则
（ ）

A．125 B．85 C．45 D．35

7、若正数a，b满足
，则
的最小值为( )

A．1 B．6 C．9 D．16

8、已知
分别是椭圆的左，右焦点，现以
为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点
，若过
的直线
是圆
的切线，则椭圆的离心率为

A．
B．
C．
D．

9、若等差数列
满足
，则
的最大值为 （ ）

A．60 B．50 C． 45 D．40

10、已知函数
是定义在R上的奇函数，在
上是增函数，且
，给出下列结论：

①若
且
，则
；②若
且
，则
；③若方程
在
内恰有四个不同的实根
，则
或8；④函数
在
内至少有5个零点，至多有13个零点

其中结论正确的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

第II卷（共100分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

11、如图为了测量
，
两点间的距离，选取同一平面上
，
两点，测出四边形
各边的长度（单位：
）:AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,如图所示，且A、B、C、D四点共圆，则
的长为_________
．

12、在△ABC中，
，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），且
，则角B等于 ．

13、函数
，则函数
的所有零点所构成的集合为________．

14、已知正三棱柱
体积为
，底面是边长为
.若
为底面
的中心，则
与平面
所成角的大小为

15、已知
是关于x的方程
的两个根，则

．

16、已知O是
外心，若
，则
．

17、已知函数
，对
，有
恒成立，则实数
的取值范围为 ．

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答请写在答卷纸上，应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

18、在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
，已知
.

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）若
，求
的取值范围.

19、如图，在三棱锥
中，
平面
．已知
，点
，
分别为
，
的中点．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）若
在线段
上，满足
平面
，求
的值．

20、已知数列
的首项为
，前
项和为
，且有
，
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）当
时，若对任意
，都有
，求
的取值范围；

（Ⅲ）当
时，若
，求能够使数列
为等比数列的所有数对
．

21、如图，已知圆
，经过椭圆
的右焦点F及上顶点B，过圆外一点
倾斜角为
的直线
交椭圆于C，D两点，

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的外部，求m的取值范围．

22、已知函数
．

（Ⅰ）若当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）求函数
在区间
上的最大值．

参考答案

一、选择题 1-10 CACAB CBABC

二、填空题 11、7； 12、
； 13、
； 14、
；

15、
； 16、
17、
或

三、解答题

18、解：（1）由正弦定理知：

代入上式

得：

,
.即
,
,

（2）由（1）得：

,

19、（1）证明：
平面PAB

，D为PB中点

,
,
平面

（2）连接DC交PE于G，连接FG

平面PEF，平面
平面PEF=FG

,又
为
重心,

20、解：（1）当
时，由
解得

当
时，
，

，即

又
，综上有
，即
是首项为
，公比为t的等比数列,

（2）当
时，
，

当
时，
单调递增，且
，不合题意；

当
时，
单调递减，由题意知：
，且

解得
, 综上a的取值范围为

（3）
，

由题设知
为等比数列，所以有,
，解得
，即满足条件的数对是
．

（或通过
的前3项成等比数列先求出数对
，再进行证明）

21、解：（Ⅰ）∵圆G：
经过点F、B．∴F（2，0），B（0，
），

∴
，
． ∴
．故椭圆的方程为
．

（Ⅱ）设直线
的方程为
．

由
消去
得
．

设
，
，则
，
，

∴
．

∵
，
，

∴
=

=
． ∵点F在圆G的外部， ∴
，

即
，解得
或
．

由△=
，解得
．又
，
．

∴
．

22、解：（1）不等式
对
恒成立，即
（*）对
恒成立，

①当
时，（*）显然成立，此时
；

②当
时，（*）可变形为
，令

因为当
时，
，当
时，
，所以
，故此时
.

综合①②，得所求实数
的取值范围是
.

（2）因为
=
…10分

①当
时，结合图形可知
在
上递减，在
上递增，

且
，经比较，此时
在
上的最大值为
.

②当
时，结合图形可知
在
，
上递减，

在
，
上递增，且
，
，

经比较，知此时
在
上的最大值为
.

③当
时，结合图形可知
在
，
上递减，

在
，
上递增，且
，
，

经比较，知此时
在