浙江建人高复2015届第一学期第二次月考试卷理科数学

一．选择题

1.已知函数
,则
的单调递增区间是 （　　）

A．
B．

C．
D．

2. 在首项为57,公差为
的等差数列
中,最接近零的是第( ) 项. （　　）

A．14 B．12 C．13 D．11

3.在
中,若
,则
的形状是 （　　）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定

4. 若非零向量
使得
成立的一个充分非必要条件是 （　　）

A．
B．
C．
D．

5设集合
,若
中恰有一个整数,则实数的取值范围是 （　　）

A．
B．
C．
D．

6. 定义在上的函数
满足
(
),
,则
等于 （　　）

A．2 B．3 C．6 D．9

7.已知全集U=R,设集合A={x|y=ln(2x-1)},集合B={y|y=sin(x-1)},则(?UA)∩B为 （　　）

A．(,+∞) B．(0,] C．[-1,] D．

8.函数
的图象为

9.已知向量
满足
,且
,则
在
方向上的投影为 （　　）

A．3 B．
C．
D．-3

10.已知向量
满足
,其夹角为
,若对任意向量
,总有
,则
的最大值与最小值之差为( ) （　　）

A．1 B．
C．
D．

二．填空题

11.已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为_______.

12.若函数
的定义域是R, 则
的取值范围是______

13.设向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),其中0<α<β<π,若|2a+b|=|a-2b|,则β-α=___.

14．函数
，若
，则实数的所有可能值为_______.

15. 已知数列{an}满足a1=0,a2=1,
,则{an}的前n项和Sn=_______________.

16.△ABC中,AB=AC=2,BC=
,点D在BC边上,∠ADC=45°,则AD的长度等于___.

17.对定义域为D的函数，若存在距离为d的两条平行直线l l：y=kx+ml和l 2：y=kx+m2（ml

①f（x）=
；②f（x）=sinx；③f（x）=
；④f（x）=x3+1

其中在
上有一个通道宽度为1的函数题号 ．

三．解答题

18.已知向量a=(
,-1),b=(sin2x,cos2x),函数f(x)=a·b.

(1)若f(x)=0且0

(2)求函数f(x)的单调增区间以及函数取得最大值时,向量a与b的夹角.（14分）

19.设集合A为函数y =ln(-x2-2x+8)的定义域,集合B为函数

y=x+的值域,集合C为不等式(ax- -)(x+4)≤0的解集.

(1) 求A∩B; (2) 若
,求a的取值范围.（14分）

20.在
中
分别为A,B,C所对的边,
且

(1)判断
的形状;

(2)若

,求
的取值范围（15分）

21.某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD,AB=
米,BC=
米,为了便于居民平时休闲散步,该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE、EF和OF,考虑到小区整体规划,要求O是AB的中点,点E在边BC上,点F在边AD上,且OE⊥OF,如图所示.

(Ⅰ)设
,试将△OEF的周长L表示成的函数关系式,并求出此函数的定义域;

(Ⅱ)经核算,三条路每米铺设费用均为400元,试问如何设计才能使铺路的总费用最低?并求出最低总费用.（14分）

22．（15分）

已知a＞0，函数f(x)=ax－bx2

（I）当b＞0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明a≤2
；

（II）当b＞1时，对任意x∈[0，1]，
≤1的充要条件是b－1≤a≤
；

（III）当0＜b≤1时，讨论：对任意x∈[0，1]，
≤1的充要条件．

理科数学答案：

(2)∵f(x)= sin2x-cos2x

=2(
sin2x-
cos2x)

=2sin(2x-
), 。。。。。。。。。。。。。。。。8分

。。。。。。14分

19.【答案】解:(1)由-x2-2x+8>0,解得A=(-4,2),又y=x+=(x+1)+-1,

所以B=(-∞,-3]∪ [1,+∞).所以A∩B=(-4,-3]∪[1,2). .。。。。。。。。。。。。。。6分

(2)因为?RA=(-∞,-4]∪[2,+∞).

由(x+4)≤0,知a≠0.

①当a>0时,由(x+4)≤0,得C=,不满足C??RA;

②当a<0时,由(x+4)≥0,得C=(-∞,-4)∪, .。。。。。。。。。。。。。。。10分

欲使C??RA,则≥2,

解得-≤a<0或0

综上所述,所求a的取值范围是. 。。。。。。。。。14分

20.【答案】试题分析:解:(1)由题意

由正弦定理知,
在
中,

或
.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分

当
时,

则
舍

当
时,
即
为等腰三角形. .。。。。。。。8分

(2)在等腰三角形
,

取AC中点D,由
,得

又由,

所以,
.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。14分

21.【答案】解:⑴在Rt△BOE中,
,在Rt△AOF中,

在Rt△OEF中,
,当点F在点D时,角最小,

当点E在点C时,角最大,
,所以
定义域为

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分

⑵设
,所以
.。。。。。。。10分

所以当
时,
,总费用最低为
元 .。。。。15分

22.证明：∵f(x)=
，∴任意x∈R，
…………2分

对任意x∈R，都有f(x)≤1，等价于
，即

∵a＞0，b＞0，∴a≤2
。…………5分

（II）证明：必要性

对任意x∈[0，1]，
≤1 ( －1≤f(x)≤1，据此可以推出－1≤f(1)，即 a－b≥－1，∴a≥b－1；

对任意x∈[0，1]，
≤1 ( f(x)≤1，因为b＞1，可以推出
≤1，

即a·
－1≤1，

∴a≤2
；

∴b－1≤a≤2
。。。。。。。。8分

充分性

因为b＞1，a≥b-1，对任意x∈[0，1]，可以推出

ax－bx2≥b(x－x2)－x≥－x≥－1，

即 ax－bx2≥－1；

因为b＞1，a≤2
，对任意x∈[0，1]，可以推出

ax－bx2≤2
x－bx2≤1，

即 ax－bx2≤1，

∴ －1≤f(x)≤1。

综上，当b＞1时，对任意x∈[0， 1]，
≤1的充要条件是b－1≤a≤
。。。。。。。12分

（III）解：因为a＞0，0＜b≤1时，对任意x∈[0，1]；

f(x)= ax－bx2≥－b≥-1，即f(x)≥－1；

f(x)≤1 ( f(1)≤1( a－b≤1，即a≤b＋1，

a≤b＋1( f(x)≤(b＋1) x－bx2≤1，即f(x)≤1。

所以，当a＞0，1＜b≤1时，对任意x∈[0，1]，
≤1的充要条件是a≤b＋1………15分