台州中学2014学年第一学期第三次统练试题

高三 数学（理科）

参考公式：

柱体的体积公式
球的表面积公式

其中
表示柱体的底面积，
表示柱体的高 球的体积公式

锥体的体积公式

其中R表示球的半径

其中
表示锥体的底面积，
表示锥体的高

台体的体积公式

其中
分别表示台体的上、下底面积,
表示台体的高

一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合
,
,则
（ ）

A．
B．

C．
D．

2. 某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（　　）

A．4 B．
C．
D．6

3. ＂数列
为递增数列＂的一个充分不必要条件是（　　 ）

A.
　　 B.
　 C.
　　D.

4. 将函数
的图像上各点的横坐标伸长到原的
倍（纵坐标不变），再向左平移
个单位，所得图像的一条对称轴方程为（ ）

A.
B.
C.
D.

5．已知函数
，
，则
( )

A．
B．
C．
D．

6. 下列命题正确的是（ ）

A．异面直线
不垂直，则不存在互相垂直的平面
分别过
；

B．直线
不垂直平面
，则
内不存在与
垂直的直线；

C．直线
与平面
平行，则过
内一点有且只有一条直线与
平行；

D．平面
垂直，则过
内一点有无数条直线与
垂直．

7．若函数
在（
，
）上既是奇函数又是增函数，则函数
的图象是（ ）

8．在
中，
是
边上一点，
，若
是
边上一动点，且
，

则
的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．设抛物线
的焦点为
，点
在
上，
，若以
为直径的圆过点
，则
的方程为（ ）

A．
或
B．
或

C．
或
D．
或

10. 函数
，其中
，若动直线
与函数
的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为
，则
的最大值为( )

A．4 B．3 C．2 D．1

填空题（本大题共7小题, 每小题4分,共28分）

11．设
，
，且
夹角
，则
= ．

12. 若
，则
= ．

13．已知关于
的不等式组
所表示的平面区域的面积为4，则
的值为 ．

14．已知数列
为等差数列，首项
，公差
，若
成等比数列，且
，
，
，则
．

15.如图，已知球
是棱长为1 的正方体
的内切球，则平面
截球
的截面面积为 ．

16.已知正实数
满足
，则
的最小值为 .

17. 已知点
为双曲线
上任意一点，过点
作双曲线的渐近线的平行线，分别与两渐近线交于
,
两点，若
，则该双曲线的离心率为 .

三、解答题（本大题共5小题,满分72分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤）

18．（本题满分14分）在△
中，角
、
、
的对边分别为
、
、
，且
．

（Ⅰ）若
，求角
的大小；

（Ⅱ）若
，
，求△
面积的最小值．

19. (本小题满分14分) 已知函数
，数列
的前
项和为
，

点
均在函数
的图象上．

（I）求数列
的通项公式
；

（II）令
，证明：
.

20.(本题满分15分) 如图，平面
⊥平面
，其中
为矩形，
为梯形，
∥
，
，
．

(Ⅰ) 求异面直线
与
所成角的大小；

(Ⅱ) 若二面角
的平面角的余弦值为
，求
的长．

21. (本小题满分15分) 若

是椭圆


上一点，
分别是椭圆
的左、右顶点，直线
的斜率的乘积等于
．

（Ⅰ）求椭圆
的离心率
的值；

（Ⅱ）过椭圆
的右焦点F且斜率为1的直线交椭圆于
两点，
为坐标原点，

若
为椭圆上一点，满足
，求实数
的值．

22．(本小题满分14分)已知
是实数，函数
，
，若
在区间
上恒成立，则称
和
在区间
上为“
函数”．

（Ⅰ）设
，若
和
在区间
上为“
函数”，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）设
且
，若
和
在以
为端点的开区间上为“
函数”，求
的最大值．

台州中学2014学年第一学期第三次统练答案

高三 数学（理科）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

B

D

C

C

C

C

A

D

D



二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分.

11． 2 12.
13．1 14． 14 15.
16.
17.

三、解答题：（本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

18．（本题满分14分）（Ⅰ）由正弦定理，得
．

∴
．∴
（
舍）． ………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）中
可得
或
．

又
时，
，
，即
，矛盾．

所以
，
，即
．

所以
，即当
时，
的最小值是
．……14分

19.（1）
点
在
的图象上，
，

当
时，
；

当
时，
适合上式，
； ………………6分

（2）证明：由
，

，又
，

，
成立.………………14分

20.(本题满分15分) (Ⅰ) 延长AD，FE交于Q．

因为ABCD是矩形，所以BC∥AD，

所以∠AQF是异面直线EF与BC所成的角．

在梯形ADEF中，因为DE∥AF，AF⊥FE，AF＝2，DE＝1得

∠AQF＝30°．………………………5分

(Ⅱ) 方法一：设AB＝x．取AF的中点G．由题意得

DG⊥AF．因为平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，

所以AB⊥平面ADEF，所以AB⊥DG．所以DG⊥平面ABF．

过G作GH⊥BF，垂足为H，连结DH，则DH⊥BF，

所以∠DHG为二面角A－BF－D的平面角．

在直角△AGD中，AD＝2，AG＝1，得DG＝
．

在直角△BAF中，由
＝sin∠AFB＝
，得
＝
，

所以GH＝
．在直角△DGH中，DG＝
，GH＝
，得DH＝
．

因为cos∠DHG＝
＝
，得x＝
，所以AB＝
．………… 15分

方法二：设AB＝x．

以F为原点，AF，FQ所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系Fxyz．则

F(0，0，0)，A(－2，0，0)，E(
，0，0)，D(－1，
，0)，B(－2，0，x)，

所以
＝(1，－
，0)，
＝(2，0，－x)．

因为EF⊥平面ABF，所以平面ABF的法向量可取
＝(0，1，0)．

设
＝(x1，y1，z1)为平面BFD的法向量，则

所以，可取
＝(
，1，
)．

因为cos<
，
>＝
＝
，得x＝
，所以AB＝
．

21. (本小题满分15分)

（Ⅰ）由
，
，

得：
，
，所以
． …5分

（Ⅱ）由方程组
得：
， 则
，
，

再设
，
，即
，

由于
为椭圆上的点，即
，

则
，整理得：

（＊），

由于
，
在椭圆上，即
，
，

又

，

所以，（＊）式可化为
，即
，

解得：
，或
． …………15分

22．(本小题满分14分)

解答：（Ⅰ）因为
和
在区间
上为“
函数”，所以

，在
上恒成立，

即
，
∵
∴

∴
即
∴
∴
………………4分

（2）①当
时，因为
和
在以
为端点的开区间上为“
函数”，

所以，
在
上恒成立，即
，
恒成立

，

∴
∴

②当
时，因为
和
在以
为端点的开区间上为“
函数”，所以，

即
，
恒成立
，

∴

③当
时，因为
和
在以
为端点的开区间上为“
函数”，

所以，即
，
恒成立

而
时，
不符合题意，

④当
时，由题意：
，
恒成立

∴
∴
∴

综上可知，
． …………………………14分