高三年级阶段性随堂练习

数学试题（2014.12）

填空题：

1.已知集合
，
，则
.

2.命题
,命题
,
是
条件．

（填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中的一个）

3.函数
的最小正周期为 ．

4.已知函数
的单调递增区间为 ．

5.直线
在两坐标轴上的截距之和为2，则实数
的值是 .

6.若Sn为等差数列{an}的前n项和，S13=－104，则a7的值为 ．

7.已知实数
满足线性约束条件
则目标函数
的最大值是 ．

8.曲线C：
在点M（1，e）处的切线方程为 ．

9.如图，已知正方形
的边长为3，
为
的中点，
与
交于点
，则
．

10.已知
为正实数，且
则
的最小值为 ．

11.已知函数
,
，
的值域为 ．

12.若椭圆上存在一点与椭圆的两个焦点构成顶角为120?的等腰三角形，则椭圆的离心率为____．

13.设
为非零实数，偶函数
在区间
上存在唯一的零点，则实数
的取值范围是 .

14.已知等比数列
的首项为
，公比为
，其前
项和记为
，又设

，
的所有非空子集中的最小元素的和为
，则
的最小正整数
为 ．

二、解答题：

15.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为
、
、
．已知向量
，
，且
．

（1）求
的值；

（2）若
，求△ABC的面积S．

16.平面直角坐标系
中，直线
截以原点O为圆心的圆所得的弦长为
．

（1）求圆
的方程；

（2）过点
的直线
与圆
相切，求直线
的方程．

17.如图，ABCD是边长为10海里的正方形海域.现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在
处同时出发，沿直线
、
向前联合搜索，且
（其中点
、
分别在边
、
上），搜索区域为平面四边形
围成的海平面.设
，搜索区域的面积为
.

（1）试建立
与
的关系式，并指出
的取值范围；

（2）求
的最大值.

18.如图，在直角坐标系xOy中，椭圆
的离心率为
，右准线方程是
,左、右顶点分别为A、B．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若动点M满足MB⊥AB，直线AM交椭圆于点P，求证：
为定值；

（3）在（2）的条件下，设以线段MP为直径的圆与直线BP交于点Q，试问：直线MQ是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

19.设各项均为非负数的数列
的前
项和为
，
（
，
）．

（1）求实数
的值；

（2）求数列
的通项公式（用
表示）；

（3）证明：当
时，
．

20.已知函数
，
，
．

（1）求函数
的单调区间；

（2）记函数
，当
时，
在
上有且只有一个极值点，求实数
的取值范围；

（3）记函数
，证明：存在
，此时有一条过原点的直线
与
的图象有两个切点．

高三数学随堂练习答案

填空题：

1．已知集合
，
，则
.

解析：
，

.

2. 函数
的最小正周期为 ．

解析：
，所以最小正周期

.

3．命题
,命题
,
是
条件．

（填“充分不必要”， “必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中的一个）

解析：充分不必要

4．已知函数
的单调递增区间为 ．解析：

5. 直线
在两坐标轴上的截距之和为2，则实数
的值是_____.

6．若Sn为等差数列{an}的前n项和，S9=－36，S13=－104，则a5
a7的值为 ．32

7.若椭圆上存在一点与椭圆的两个焦点构成顶角为120?的等腰三角形，则椭圆的离心率为________．

8. 如图，已知正方形
的边长为3，
为
的中点，
与
交于点
，则
________．

9. 已知函数f(x)＝ , x∈[,]，求f(x)的值域 ．

10.已知椭圆

是椭圆上关于原点对称的两点，
是椭圆上任意一点，且直线
的斜率分别为
，若椭圆的离心率为
，则
的最小值为 ．1

11. 设
为非零实数，偶函数
在区间
上存在唯一的零点，则实数
的取值范围是 .

解析：
为偶函数，
，结合图形可知

.

12. 已知
为正实数，且
则
的最小值为 2 ．

13．已知圆C：
，点P在直线l：
上，若圆C上存在两点A、B使得
，则点P的横坐标的取值范围是 ．


14.已知等比数列
的首项为
，公比为
，其前
项和记为
，又设

，
的所有非空子集中的最小元素的和为
，则
的最小正整数
为 ．

解析:45

解：由题意有
，对于和
，我们首先把
中的元素按从小到大顺序排列，当
时，
，对于
中的任一元素

，比它大的有
个，这
个元素组成的集合的所有子集有
个，把
加进这些子集形成新的集合，每个都是以
为最小元素的
的子集，而最小元素为
的
的子集也只有这些，故在
中
出现
次，所以

，
时，
适合上式，
时，
．当
，
不成立，当
时，
，
，由于
，
，
，所以
，最小的
为
．

二、解答题：

15．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为
、
、
.已知向量
，
，且
．

（1）求
的值；（2）若
，求△ABC的面积S．

16.已知圆C经过P（4，– 2），Q（– 1，3）两点，且在y轴上截得的线段长为
，半径小于5．

（1）求圆C的方程．

（2）若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A、B，
，求直线l的方程．

解：(1) PQ为
2分

C在PQ的中垂线
即y = x – 1上 3分

设C（n，n – 1），则
4分

由题意，有
5分

∴
∴ n = 1或5，r 2 = 13或37（舍） 7分

∴圆C为
8分

解法二：

设所求圆的方程为

由已知得
解得

当
时，
；当
时，
（舍）

∴ 所求圆的方程为

(2) 设l为
9分

由
，得
10分

设A（x1，y1），B（x2，y2），则
11分

∵
， ∴
12分

∴

∴
∴ m = 3或 – 4（均满足
）

∴ l为
14分

17.某市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域是半径为R的圆面．该圆面的内接四边形ABCD是原棚户建筑用地，测量可知边界AB = AD = 4千米，BC = 6千米，CD = 2千米，

（1）请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径R的值；

（2）因地理条件的限制，边界AD、DC不能变更，而边界AB、BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC上设计一点P，使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值．

解：(1)
，由余弦定理得：

∴
………………………………2分

∵
∴
，

S四边形ABCD =
（平方千米）……5分

∴

由正弦定理得：
（千米）
（千米）

………………………………8分

(2) S四边形APCD =
，又
…………9分

设AP = x，CP = y，则
…………………10分

由余弦定理得：

∴
，当且仅当x = y时取“＝”………………………………12分

∴S四边形APCD =
（平方千米）

∴ 作AC的垂直平分线与圆弧ABC的交点即为点P，最大面积为
平方千米 ……14分

18.如图，在直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右顶点分别为A，B．

(1)若椭圆的右准线方程是x＝4，求a，b的值；

(2)若动点M满足MB⊥AB，直线AM交椭圆于点P，求证：·为定值；

(3)在(2)的条件下，设以线段MP为直径的圆与直线BP交于点Q，试问：直

线MQ是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

解：

19. 在数列
中,
, 且对任意的
,
成等比数列, 其公比为
.

（1） 若
, 求
；

（2） 若对任意的
,
成等差数列, 其公差为
, 设
.

① 求证:
成等差数列, 并指出其公差；

② 若
, 试求数列
的前
项和
.

（1）因为
,所以
,故
是首项为1,公比为4的等比数列,

所以
…………………………………………………… 4分

（注: 讲评时可说明, 此时数列
也是等比数列, 且公比为2）

（2）①因为
成等差数列,所以
,

而
,所以
,则
………………………… 7分

得
,所以
,即
,

所以
是等差数列,且公差为1………………………………………………………………………9分

②因为
,所以
,则由
,解得
或
………………10分

（ⅰ）当
时,
,所以
,则
,即
,得
,所以

,则

……12分

所以
,则
,故
……………14分

（ⅱ）当
时,
,所以
,则
,即
,

得
,所以

,

则
,所以