栟茶高级中学2015届高三上学期第二次学情调研

数学试题（含理科加试题） 2014.12.26

第I卷(总分160分，考试时间120分钟)

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1． 若集合
，集合
，则
▲ ．

2．复数Z满足
，是Z的虚部为 ▲ ．

3． 抛物线
的准线方程是 ▲ ．

4．若ac＞0且bc＜0，直线
不通过第 ▲ 象限．四

5．椭圆
的左、右顶点分别是A，B,左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 ▲ ．

6．已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为
，圆心角为
的扇形，则此圆锥的体积为 ▲ ．

7．
中，若
，
，则
▲ ．

8．如右图所示为函数

(
)的部分图象,其中
两点之间的距离为
,那么

▲ ．

9． 若双曲线－＝
的一条渐近线方程是y＝2x，则离心率e的值为___▲___．

或

10．下列有关命题的说法正确的是 ▲ ．②③

①命题“若
，则
”的否命题为：“若
，则
”；

②已知
时，
，若
是锐角三角形，则
；

③命题“若
，则
”的逆否命题为真命题；

④命题“
使得
”的否定是：“
均有
”．

11．已知
,
,点P在圆
上,满足
=40，若这样的点P有两个，则
的取值范围是 ▲ ．

12．定义在
上的函数
满足：
，
，
是
的导函数，则不等式
（其中
为自然对数的底数）的解集为 ▲ ．

13．
为
的外接圆圆心,
,
为钝角,M是边BC的中点,则
= ▲ ． 29

14．已知函数
是定义域为
的偶函数． 当
时，
， 若关于
的方程
，
有且仅有6个不同实数根，则实数
的取值范围是 ▲ ．

解析：依题意
在
和
上递增，在
和
上递减，当
时，函数取得极大值
；当
时，取得极小值
．要使关于
的方程
，
有且只有6个不同实数根，设
，则
必有两个根
、
，则有两种情况符合题意：（1）
，且
，此时
，则
；（2）
，
，此时同理可得
，综上可得
的范围是
．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

已知向量
，
．

(1)当
时，求
的值；

(2)设函数
，已知在
中，内角
的对边分别为
，

若
，
，
，求
（
）的取值范围．

解析：（1）
…………2分

……………6分

（2）
+
………………8分

由正弦定理得
或
…10分

因为
，所以
…………………11分

,

,

所以
…………………14分

16． （本小题满分14分）

在正四面体ABCD中，点F在CD上，点E在AD上，且DF∶FC=DE∶EA=2∶3．

证明：（1）EF∥平面ABC；

（2）直线BD⊥直线EF．

证：（1）因为点F在CD上，点E在AD上，且DF∶FC=DH∶HA=2∶3， ……1分

所以EF∥AC， …………………………………3分

又EF
平面ABC，

AC
平面ABC，

所以EF∥平面ABC．………………………………………………………………6分

（2）取BD的中点M，连AM，CM，

因为ABCD为正四面体，所以AM⊥BD，CM⊥BD， …………………………8分

又AM
CM=M，所以BD⊥平面AMC， ……………………………………10分

又AC
平面AMC，所以BD⊥AC， ……………………………………………12分

又HF∥AC，

所以直线BD⊥直线HF．…………………………………………………………14分

17．（本小题满分14分）

某小区想利用一矩形空地
建造市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一个水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中
，
，且
中，
，经测量得到
．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点
作一条直线交
于
，从而得到五边形
的市民健身广场．

（Ⅰ）假设
，试将五边形
的面积
表示为
的函数，并注明函数的定义域；

（Ⅱ）问：应如何设计，可使市民健身广场的面积最大？并求出健身广场的最大面积．

解：（Ⅰ）作GH⊥EF，垂足为H，

因为
，所以
，

因为

所以
，所以
………………2分

过
作
交
于T，则

，

所以

………………………7分

由于
与
重合时，
适合条件，故
,…………………………8分

（Ⅱ）
，…………………10分

所以当且仅当
，即
时，
取得最大值2000， ……13分

答：当
时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为
．…………14分

18．（本小题满分16分）

已知椭圆
（
）的左、右焦点分别为
、
，短轴两个端点为
、
，且四边形
是边长为2的正方形．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若
、
分别是椭圆长轴的左、右端点，动点
满足
，连结
，交椭圆于点
．证明：
为定值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问
轴上是否存在异于点
的定点Q，使得以
为直径的圆恒过直线
的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

解：（Ⅰ）如图，由题意得，
．

，
．

所求的椭圆方程为
． ………3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
（
，0），
（2，0）． ………………4分

由题意可设
：
，
（
，
）．

，

（2，
）． ……5分

由
整理得:
．

，

．

，
．

．

即
为定值．

（Ⅲ）设
，则
．

若以
为直径的圆恒过
，
的交点，则
，

恒成立．

由（Ⅱ）可知
，
．

．

即
恒成立．

．

存在
使得以
为直径的圆恒过直线
，
的交点．

19．（本小题满分16分）

已知函数
．

（1）求
的单调增区间和最小值；

（2）若函数
与函数
在交点处存在公共切线，求实数
的值；

（3）若
时，函数
的图象恰好位于两条平行直线
；

之间，当
与
间的距离最小时，求实数
的值．

解（1）因为
，由
，得
，

所以
的单调增区间为
，……………………………………………………2分

又当
时，
，则
在
上单调减，

当
时，
，则
在
上单调增，

所以
的最小值为
． …………………………………………………5分

（2）因为
，
，

设公切点处的横坐标为
，则与
相切的直线方程为：
，

与
相切的直线方程为：
，

所以
…………………………………………………………8分

解之得
，由（1）知
，所以
． …………………………10分

（3）若直线
过
，则
，此时有
（
为切点处的横坐标），

所以
，
， ………………………………………………………………11分

当
时，有

，

，且
，

所以两平行线间的距离
，………………………………………12分

令
，因为
，

所以当
时，
，则
在
上单调减；

当
时，
，则
在
上单调增，

所以
有最小值
，即函数
的图象均在
的上方，………………13分

令
，则

，

所以当
时，
，………………………………………………………15分

所以当
最小时，
，
．…………………………………………………16分

20．（本小题满分16分）

已知函数
（
为实数，
），
．

⑴若
，且函数
的值域为
，求
的表达式；

⑵设
，且函数
为偶函数，判断
是否大0？

⑶设
，当
时，证明：对任意实数
，

(其中
是
的导函数) ．

解：⑴因为
，所以
，

因为
的值域为
，所以
， ……3分

所以
，所以