南通中学2015届高三上学期期中考试数学试题

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．

1．已知全集
，集合
则
．

2．命题：“
”的否定是 ．

3．若复数z1=a﹣i，z2=1+i（i为虚数单位），且z1
z2为纯虚数，则实数a的值为　 　．

4．已知角
终边经过点
，则
．

5．“
”是“
对
恒成立”的 条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．

6．已知
为等比数列，
，则
．

7．已知函数
，则
的极大值为 .

8．已知
的一个内角为
，并且三边长构成公差为4的等差数列，则
的面积为_________．

9．已知向量
中任意两个都不共线,且
与
共线,
与
共线,则向量
= ．

10．设函数
（
），将
的图像向右平移
个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则
的最小值等于 ．

11．设f（x）是定义在
上的奇函数，且在区间
上单调递增，若
，三角形的内角A满足f（cosA）＜0，则A的取值范围是　 　．

12．如图，在等腰三角形
中，已知
分别是边
上的点，且
其中
若
的中点分别为
且
则
的最小值是 ．

13．等差数列
的公差为d，关于x的不等式
＋
＋c≥0的解集为[0，22]，则使数列
的前n项和
最大的正整数n的值是 ．

14．已知数列
满足
（q为常数），若
∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，30}，则
　 　．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本题满分14分）

已知
实数
满足
, 其中
；
实数
满足
.

(1) 若
且
为真, 求实数
的取值范围；

(2) 若
是
的必要不充分条件, 求实数
的取值范围.

16．（本题满分14分）

如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A＝AC，D，E，F分别为线段AC，A1A，C1B的中点．

（1）证明：EF∥平面ABC；

（2）证明：C1E⊥平面BDE．

17．（本题满分15分）

已知向量
.

（1）若
，且
，求
的值；

（2）定义函数
，求函数
的单调递减区间；并求当
时，函数
的值域.

18．（本题满分15分）

经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），旅游人数
（万人）与时间
（天）的函数关系近似满足
，人均消费
（元）与时间
（天）的函数关系近似满足
.

（Ⅰ）求该城市的旅游日收益
（万元）与时间
的函数关系式；

（Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元）.

19．（本题满分16分）

已知函数

（1）求函数
在点
处的切线方程；

（2）求函数
单调递增区间；

（3）若存在
，使得
是自然对数的底数），求实数
的取值范围．

20．（本题满分16分）

在数列
中，
，且对任意的
,
成等比数列，其公比为
．

（1）若
=2(
)，求
；

（2）若对任意的
，
，
，
成等差数列，其公差为
，设
．

① 求证：
成等差数列，并指出其公差；

②若
=2,试求数列
的前
项的和
．

数学Ⅱ（附加题）

21（B）（本题满分10分）

已知矩阵M =
，N =
，试求曲线
在矩阵MN变换下的函数解析式．

21（C）（本题满分10分）

已知曲线
的极坐标方程为
，以极点为原点，极轴为
轴的非负半轴建立平面直角坐标系，并与极坐标系取相同的单位长度，直线l的参数方程为
（
为参数），求直线l被曲线
截得的线段长度.

22．（本题满分10分）

如图所示,在棱长为2的正方体
中,点
分别在棱
上,满足
,且
.

(1)试确定
、
两点的位置.

(2)求二面角
大小的余弦值.

23．（本题满分10分）

已知函数
．

（1）若函数
在
处取极值，求
的值；

（2）如图，设直线
将坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域（不含边界），若函数
的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的
的取值范围；

（3）比较
与
的大小，并说明理由．

参考答案

1．已知全集
，集合
则
．

2．命题：“
”的否定是 ．

答案：

3．若复数z1=a﹣i，z2=1+i（i为虚数单位），且z1
z2为纯虚数，则实数a的值为　 　．

答案：﹣1

4．已知角
终边经过点
，则
．

答案：

5．“
”是“
对
恒成立”的 条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．

答案：充分不必要

6．已知
为等比数列，
，则
．

答案：

7．已知函数
，则
的极大值为 .

答案：

8．已知
的一个内角为
，并且三边长构成公差为4的等差数列，则
的面积为_________．

答案：

9．已知向量
中任意两个都不共线,且
与
共线,
与
共线,则向量
= ．

答案：

10．设函数
（
），将
的图像向右平移
个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则
的最小值等于 ．

答案：6

11．设f（x）是定义在
上的奇函数，且在区间
上单调递增，若
，三角形的内角A满足f（cosA）＜0，则A的取值范围是　 　．

答案：

12．如图，在等腰三角形
中，已知
分别是边
上的点，且
其中
若
的中点分别为
且
则
的最小值是 ．

答案：

13．等差数列
的公差为d，关于x的不等式
＋
＋c≥0的解集为[0，22]，则使数列
的前n项和
最大的正整数n的值是 ．

答案：11

14．已知数列
满足
（q为常数），若
∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，30}，则
　 　．

答案：﹣2或
或126

15．（本题满分14分）

已知
实数
满足
, 其中
；
实数
满足
.

(1) 若
且
为真, 求实数
的取值范围；

(2) 若
是
的必要不充分条件, 求实数
的取值范围.

所以实数
的取值范围是
. ………………………7分

(2) p是q的必要不充分条件，即q
p,且p
q，

设A=
, B =
, 则A
B， ………………………10分

又
，A=
；

所以有
解得

所以实数
的取值范围是
. ………………………14分

16．（本题满分14分）

如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A＝AC，D，E，F分别为线段AC，A1A，C1B的中点．

（1）证明：EF∥平面ABC；

（2）证明：C1E⊥平面BDE．

证明（1）如图，取BC的中点G，连结AG，FG．

因为F为C1B的中点，所以FGC1C．

在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1AC1C，且E为A1A的中点，

所以FGEA．

所以四边形AEFG是平行四边形．

所以EF∥AG． ………………………… 4分

因为EF(平面ABC，AG(平面ABC，

所以EF∥平面ABC． ………………………… 6分

（2）因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，BD(平面ABC，

所以A1A⊥BD．

因为D为AC的中点，BA＝BC，所以BD⊥AC．

因为A1A∩AC＝A，A1A(平面A1ACC1，AC(平面A1ACC1，所以BD⊥平面A1ACC1．

因为C1E(平面A1ACC1，所以BD⊥C1E． ………………………… 9分

根据题意，可得EB＝C1E＝AB，C1B＝AB，

所以EB＋C1E＝C1B2．从而∠C1EB＝90°，即C1E⊥EB．……………………… 12分

因为BD∩EB＝B，BD (平面BDE， EB(平面BDE，

所以C1E⊥平面BDE． ………………………… 14分

17．（本题满分15分）

已知向量
.

（1）若
，且
，求
的值；

（2）定义函数
，求函数
的单调递减区间；并求当
时，函数
的值域.

解：（1）因为
，所以
，…………………2分

因为
，所以
，即
，

所以
．……………………………………5分

（2）

，………………………………………………………………8分

令
，得
，

所以函数
的单调递减区间是
．…………11分

因为
，所以
，
，

所以当
时，函数
的值域
． ……………………15分

18．（本题满分15分）

经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），旅游人数
（万人）与时间
（天）的函数关系近似满足
，人均消费
（元）与时间
（天）的函数关系近似满足
.

（Ⅰ）求该城市的旅游日收益
（万元）与时间
的函数关系式；

（Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元）.

解：（Ⅰ）由题意得，

……………………5分

（Ⅱ）因为
………………………………………7分

①当
时，

当且仅当
，即
时等号………………………………………………………11分

②当
时，
，可证
在
上单调递减，所以当
时，
取最小值为
…………………………14分

由于
，所以该城市旅游日收益的最小值为
万元…………………15分

19．（本题满分16分）

已知函数

求函数
在点
处的切线方程；

求函数
单调递增区间；

若存在
，使得
是自然对数的底数），求实数
的取值范围.

⑴因为函数
，

所以
，
，…………………………………………2分

又因为
，所以函数
在点
处的切线方程为
． …………4分

⑵由⑴，
．

因为当
时，总有
在
上是增函数， ………………………………8分

又
，所以不等式
的解集为
，

故函数
的单调增区间为