江苏省扬州中学2015届高三上学期质量检测（12月）

数学（理）试题

填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分

1.已知集合
那么
_________.

2.函数
的最小正周期为_________.

3.复数
，且
是纯虚数，则实数
的值为_________.

4.已知双曲线
的一条渐近线方程为
则
的值为_______.

5.在
中，
则
=________.

6.“
”是“
”成立的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).

7.若
为等差数列
的前
项和,
则
与
的等比中项为_______.

8.若正四棱锥的底面边长为
体积为
则它的侧面积为_______.

9.在平面直角坐标系
中，记不等式组
表示的平面区域为
若对数函数
的图像与
有公共点，则
的取值范围是__________.

10.已知
是定义在
上的奇函数，且
当
时，

则
_________.

11.在边长为1的正
中，向量


，且

则
的最大值为________.

12.若在给定直线
上任取一点
从点
向圆
引一条切线，切点为
若存在定点
恒有
则
的范围是_______.

13.已知数列
,
中，

是公比为
的等比数列.记
若不等式
对一切
恒成立，则实数
的取值范围是________.

14.已知
，曲线
和直线
有交点Q

，则
满足的等量关系式为______________. (不能含其它参量)

解答题：本大题共6小题，共计90分

15.（本小题满分14分）

已知函数
其中向量

若
的图像上相邻两个对称中心的距离大于等于

（1）求
的取值范围；

（2）在
中，
分别是角
的对边，
当
最大时，
求
的面积最大值.

16.（本小题满分14分）

如图，
为圆
的直径，点
在圆
上，且
矩形
所在的平面与圆
所在的平面互相垂直，且

(1)设
的中点为
求证：
面

（2）求证：
面
.

17.（本小题满分14分）

如图①，有一个长方形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20
的正方形，高为30
，内有20
深的溶液，现将此容器倾斜一定角度
（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①，②均为容器的纵截面）.

(1)当
时，通过计算说明此溶液是否会溢出；

(2)现需要倒出不少于3000
的溶液，当
等于
时，能实现要求吗？通过计算说明理由.

18.（本小题满分16分）

如图所示，已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
为椭圆上一点，
为上顶点，
，
.

当椭圆离心率
时，若直线过点（0，
）且与椭圆交于
（不同于
）两点，求
；

（2）求椭圆离心率
的取值范围.

19. （本小题满分16分）

设函数

（1）当
时，求函数
的极值；

（2）当
时，讨论函数
的单调性.

（3）若对任意
及任意
，恒有
成立，求实数
的取值范围.

20. （本小题满分16分）

已知数集
具有性质
；对任意的

，
与
两数中至少有一个属于
.

（1）分别判断数集
与
是否具有性质
，并说明理由；

（2）证明：
，且
；

（3）证明：当
时，
成等比数列.

命题、校对、审核：王朝和、徐小美

数 学Ⅱ
(附加题)

1.已知矩阵
的一个特征值是3，求直线
在
作用下的直线方程.

2.在平面直角坐标系
中，曲线
的参数方程是
若以
为极点，
轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线
的极坐标方程.

3.如图，在正四棱锥
中，
，点
分别在线段
和
上，
．

（1）若
，求证：
;

（2）若二面角
的大小为
，求线段
的长度．

4.已知
展开式的各项依次记为
设函数

若
的系数依次成等差数列，求正整数
的值；

求证：
恒有

命题、校对、审核：王朝和、徐小美

高三（理）数学质量检测参考答案 （2014.12）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分

1.
2.
3.
4. 12 5. 1 6.必要不充分

7.
8.
9.
10. 0 11. 88

12. 圆，【解析】设
若恒有
则有
即有

恒成立，

∴
消去
得

∴
，∴
.

13.【解析】∵
∴
∴

解得
或
若
，则
对一切正整数
成立，显然不可能；

若
则
对一切正整数
成立，只要
即可，即

，解得

14.
导数

解答题：本大题共6小题，共计90分

15.【解析】（1）由题意知

=

解得

（2）由（1）知
即

又∵
∴
∴
得

由余弦定理得
即

∴

16.【证明】（1）设
的中点为
连接
则
∥

=
又∵
∥

=
∴
∥
，
=
，∴
为平行四边形，∴
∥

又∵
面


面
∴
∥面

（2）∵面
面
，

面
,面
面

∴
面
.∵
面
,∴
又∵
为圆
的直径，

∴
又∵

面
∴
面

17.【解析】

18.解：（1）
得
，

所以椭圆的方程为
. 依题意可设
所在的直线方程为
，代入椭圆方程,得
.设
，则
.

因为

，所以
.

（2）因为
,

因为
，所以
，化简得

-
，即
，

在
中，由余弦定理，有
，

所以
， 又因为
，

即
.

19.解析：（1）函数的定义域为
.当
时，
当
时，

单调递减；当
时，

单调递增

，无极大值.

（2）

当
，即
时，

在定义域上是减函数；

当
，即
时，令
得
或
令
得

当
，即
时，令
得
或
令
得

综上，当
时，
在
上是减函数；当
时，
在
和
单调递减，在
上单调递增；当
时，
在
和
单调递减，在
上单调递增；

（3）由（Ⅱ）知，当
时，
在
上单减，
是最大值，
是最小值.



,而
经整理得
，由
得
，所以

20.【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、

分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.

（1）由于
与
均不属于数集
，∴该数集不具有性质P.

由于
都属于数集
，

∴该数集具有性质P.

（2）∵
具有性质P，∴
与
中至少有一个属于A，

由于
，∴
，故
.从而
，∴
.

∵
， ∴
，故
.

由A具有性质P可知
.又∵
，

∴
，

从而
，∴
.

（3）由（Ⅱ）知，当
时，有
，即
，

∵
，∴
，∴
，

由A具有性质P可知
.由
，得
，且
，

∴
，∴