宿迁市2014—2015学年度高三年级第一次考试

数学参考答案与评分标准

数学Ⅰ 必做题部分

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

1．
2． 3．
4．
5．

6．
7．
8．
9． 10．

11．
12．
13．
14．

二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（1）由余弦定理得，
， …………………………3分

因为
，
，
，

所以
，即
…………………………5分

解之得
，
（舍去）．

所以
. ……………………………7分

（2）因为
，
，

所以
……………………………9分

……………………………11分

．

所以
． ……………………………………14分

16．（1）连接AC，交BD于点O，连接PO．

因为四边形ABCD为菱形，所以
……2分

又因为
，O为BD的中点，

所以
……………………………………4分

又因为

所以
，

又因为

所以
……………………………………7分

（2）因为四边形ABCD为菱形，所以
…………………………9分

因为
．

所以
………………………………………11分

又因为
，平面
平面
．

所以
． ………………………………………………14分

17．(1)由题意知，
， …………………………………2分

， …………………………………5分

因为
为圆周上靠近的一点，为圆周上靠近的一点，且
，

所以

所以
，
…………………………………………7分

(2)记
,则
， ………………………………9分

令
，得
， ………………………………………………11分

列表

x

(0，
)



(
，
)





＋

0

－



f (x)

递增

极大值

递减



所以函数
在
处取得极大值，这个极大值就是最大值，…………13分

即
，

答：观光路线总长的最大值为
千米． ……………………………14分

18．（1）因为
，

所以
， ……………………2分

令
，因为
，得
或
， ……………………5分

所以
的单调增区间为
和
； ……………………6分

（2）因为对任意

且
，均有
成立，

不妨设
，根据
在
上单调递增，

所以有
对
恒成立，……………………8分

所以
对

，
恒成立，

即
对

，
恒成立，

所以
和
在
都是单调递增函数，………………11分

当
在
上恒成立，

得
在
恒成立，得
在
恒成立，

因为
在
上单调减函数，所以
在
上取得最大值
，

解得
． ………………………………13分

当
在
上恒成立，

得
在
上恒成立，即
在
上恒成立，

因为
在
上递减，在
上单调递增，

所以
在
上取得最小值
，

所以
， ……………………………15分

所以实数的取值范围为
． ………………………16分

19．（1）由圆的方程知，圆的半径的半径
，

因为直线
，
互相垂直，且和圆相切，

所以
，即
，①………………………………………1分

又点在椭圆
上，所以
，②……………………………………2分

联立①②，解得
……………………………………………………3分

所以所求圆的方程为
． ………………………4分

（2）因为直线
：
，
：
，与圆相切，

所以
,化简得
………………6分

同理
，……………………………………………7分

所以
是方程
的两个不相等的实数根，

…………………………8分

因为点
在椭圆C上，所以
，即
，

所以
，即
． ………………………………10分

（3）
是定值，定值为36，……………………………………………11分

理由如下：

法一：(i)当直线
不落在坐标轴上时,设
,

联立
解得
………………………………………12分

所以
，同理，得
，…………13分

由
，

所以

………………………………………………………15分

(ii)当直线
落在坐标轴上时,显然有
，

综上：
． ……………………………………………………16分

法二：(i)当直线
不落在坐标轴上时,设
,

因为
，所以
,即
， ……………12分

因为
在椭圆C上，所以
，

即
， ……………………………………………13分

所以
，整理得
，

所以
，

所以
． ……………………………………………………15分

(ii)当直线
落在坐标轴上时,显然有
，

综上：
． ………………………………………………16分

20．（1）设数列
的首项为
，公差为
，

由
，
，得
， ……………………2分

解得
，

所以
……………………………………………4分

（2）①因为
，

若

，
，

因为
，

所以
，
，此方程无整数解； ………………6分

若

，
，

因为
，

所以
，
，此方程无整数解；………………8分

若

，
，

因为
，

所以
，
，解得
，

所以
，
满足题意…………………………………………………10分

②由①知
，
，
，则
，
，
，

一般的取
， ………………………13分

此时
，
，

则
＝
－
＝
，

所以
为一整数平方．

因此存在数列
，使得数列
中的各数均为一个整数的平方．……16分

数学Ⅱ部分

21．【选做题】

A．(选修4—1：几何证明选讲)

因为BE切⊙O于点B，所以

，

因为
，
，由余弦定理得
．………4分

又因为
，所以
，…………………8分

所以
． ………………10分

B．（选修4—2：矩阵与变换）

设矩阵
，这里
，

因为
是矩阵A的属于
的特征向量，则有
①， ……4分

又因为
是矩阵A的属于
的特征向量，则有
② …6分

根据①②，则有
…………………………………………………8分

从而
所以
． ……………………………10分

C．（选修4-4：坐标系与参数方程）

由
得
两式平方后相加得
， …………4分

因为曲线是以
为圆心，半径等于1的圆．得
．

即曲线的极坐标方程是
． …………………………10分

D．（选修4－5：不等式选讲）

因为
……………………………5分

所以原不等式解集为R等价于
所以

所以实数的取值范围为
． ………………………10分

22．建立如图所示的空间直角坐标系
．

（1）因为AB=AC=1，
3，
，

所以各点的坐标为
,
，
，
．

，
． …………2分

因为