一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．

1. 函数
的最小正周期为
，其中
，则
.

2. 若复数
是纯虚数，则实数= .

3. 若
，则
= .

4. 已知双曲线
中，若以其焦点为圆心，半实轴长为半径的圆与渐近线相切，则其渐近线方程为 ．

5．如果数据
，
，
，…，
的方差是，若数据
，
，
，…，
的方差为9，则
.

6. 执行右边的程序框图，若p＝80，则输出的n的值为 .

7. 如果投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为和，则
的概率为 .

8．若
是R上的增函数，且
，设
，
，若“
”是“
的充分不必要条件，则实数的取值范围是______.

9．正方形铁片的边长为8cm，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧剪下一个顶角为
的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积等于________cm3.

10. 若方程
表示焦点在轴上且离心率小于
的椭圆，则
的最小值为 ．

11. 已知
若关于的方程
在（0，4）上有两个实数解，则
的取值范围是 .

12. 已知圆C过点
，且与圆M:
关于直线
对称.若Q为圆C上的一个动点，则
的最小值为 .

13. 已知函数
若函数
在
上存在唯一的极值点．则实数的取值范围为 　　　　　　 ．

14. 已知函数
，且
，则
.

二、解答题：本大题共6小题，共90分.

15.（本小题满分14分）已知
的三个内角
所对的边分别为
,向量
，
，且
.

(1)求角A的大小；

(2)若
,求证：
为等边三角形.

16.（本小题满分14分）在直三棱柱
中，AC=4,CB=2,AA1=2，
，E、F分别是
的中点．

（1）证明：平面
平面
；

（2）设P为线段BE上一点，且
，求三棱锥
的体积．

17.（本小题满分14分）设椭圆方程

，椭圆上一点到两焦点的距离和为4，过焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，AB=2．

（1）求椭圆方程；

（2）若M，N是椭圆C上的点，且直线OM与ON的斜率之积为
，是否存在动点
，若
，有
为定值．

18. (本小题满分16分) 某固定在墙上的广告金属支架如图所示，根据要求，AB至少长3米，C为AB的中点， B到D的距离比CD的长小0.5米，∠BCD=600

（1）若

将支架的总长度表示为的函数，并写出函数的定义域.（注：支架的总长度为图中线段AB、BD和CD长度之和）

（2）如何设计
的长，可使支架总长度最短．

19.（本小题满分16分）若数列
的前项和为
，且满足等式
.

（1）能否在数列中找到按原来顺序成等差数列的任意三项，说明理由；

（2）能否从数列中依次抽取一个无穷多项的等比数列，且使它的所有项和
满足
，如果这样的数列存在，这样的等比数列有多少个？（注：设等比数列的首项为
，公比为
，则它的所有项的和定义为
）

20.（本小题满分16分）已知函数
，
.

（1）若函数
有三个极值点，求的取值范围；

（2）若
依次在
处取到极值，且
，求
的零点；

（3）若存在实数
，使对任意的
，不等式
恒成立，试求正整数的最大值.

第Ⅱ卷（附加题，共40分）

21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．

A．（选修４－１：几何证明选讲）在
中，
过点A的直线与其外接圆交于点P,交BC延长线于点D. 求证：

B．（选修４－２：矩阵与变换）
的顶点A（1，2），B（3，3），C（2，1），求在矩阵
对应的变换下所得图形的面积．

C．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知直线
和直线
的交于点.

（1）求P点的坐标；

（2）求点与
的距离.

D．（选修４－５：不等式选讲）设
是正数，证明：
.

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.

22．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD， EF // AB，∠BAF=90o， AD= 2，AB=AF=2EF =1，点P在棱DF上．

（1）若P是DF的中点， 求异面直线BE与CP所成角的余弦值；

（2）若二面角D-AP-C的余弦值为
，求PF的长度．

23．数列
满足
，
且
，其中

（1）求证：
≤1；

（2）求证：
．

沭阳银河学校2015届高三开学初学情调研

数学试卷参考答案

第Ⅰ卷（必做题，共160分）

一、填空题

11.

可以转化为
，记
，则
在（0，4）上有两个实数解，可以转化为函数
与
的图象，结合图像和特殊点
可知
;

二、解答题

16．（1）在
，∵AC=2，BC=4,
，

∴
，∴
，

∴
.………………………………3分

由已知
，
，∴
. …………………5分

又∵

，

即平面
平面
……7分

（2）取
的中点，连结
，

则
且
，

由（1）
，

∴
， ……10分

∵
，

∴
. ……14分

18. （1）由
则
，设
，

则支架的总长度为
，

在
中，由余弦定理

化简得
即
① ……4分

记

由
，则

---------6分

（2）由题中条件得
，即

设

则原式

=
……10分

由基本不等式

有且仅当
，即
时成立，又由
满足

，
当
时，金属支架总长度最短． …16分

（2）设抽取的等比数列首项为
，公比为
，项数为
，且

则
， -------------------------------------------10分

因为
，所以
， ------------------12分

所以

由（1）得到
，所以
， ------------13分

由（2）得到
， --------------------------------14分

当
时，适合条件，这时等比数列首项为
，公比为

当
时，均不适合.

当
时，均不适合.

综上可得满足题意的等比数列有只有一个. ------------------16分

（3）不等式
，等价于
，即
.

转化为存在实数
，使对任意的
，不等式
恒成立.

即不等式
在
上恒成立.

即不等式
在
上恒成立. ----------------12分

设
，则
.

设
，则
.

因为
，有
. 所以
在区间
上是减函数.

又
，
，
，

故存在
，使得
.

当
时，有
，当
时，有
.

从而
在区间
上递增，在区间
上递减.

又
，
，
，

，
，
.

所以，当
时，恒有
；当
时，恒有
.

故使命题成立的正整数的最大值为5. -----------------16分

第Ⅱ卷（附加题，共40分）

22. （1）因为∠BAF=90o，所以AF⊥AB，

因为 平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF ∩平面ABCD= AB，

所以AF⊥平面ABCD，因为四边形ABCD为矩形，

所以以A为坐标原点，AB，AD，AF分别

为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系
．

所以
，
，
，
．

所以
，
，

所以
，

即异面直线BE与CP所成角的余弦值为
． -----------------------------5分

（2）因为AB⊥平面ADF，所以平面APF的法向量为
．

设P点坐标为
，在平面APC中，
，
，

所以 平面APC的法向量为
，

所以，

解得
，或
（舍）． 所以
． ---------------10分

23. （1）猜想：
≤1，1≤k

当k=1时，由
，
得
=
=1 但

∴
=－1，∴
成立 --------------------------------------------2分

假设k=m (1≤m

所以
所以k=m+1时结论也成立.

综上 ，有
，1≤k

（2）当N=2时，由
且
得
成立

假设N=m (m≥2)时，存在
，使得
------------------7分

则当N=m＋1时，由归纳假设，存在k，使得
，

则
=
=
=