宿豫区实验高中2015届高三年级第四次质量抽测

数 学 试 卷

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．

1. 若集合
，
，则

________.

2.在复平面内，复数对应的点位于第二________象限．

3.如果执行右图的流程图，若输入n＝6，m＝4，那么输出的p等于360________．

第4题图

第8题图

第3题图

4.右图是某高中十佳歌手比赛上某一位选手得分的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为________．

5.从1,2,3,4,5中随机取出三个不同的数，则其和为奇数的概率为
________．

6.已知点P(x，y)满足条件(k为常数)，若z＝x＋3y的最大值为8，则k＝—6________.

7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足－＝1，则数列{an}的公差是2________．

8.已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆半径为1，则该圆锥的体积为________．

9. 过原点O作圆x2+y2－6x－8y＋20=0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的

长为4________．

10.已知函数f(x)＝＋xln x，则曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为x+y-3=0________．

11.在平行四边形ABCD中，已知AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，则·＝
________.

12.椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，直线y＝－x与椭圆C交于A，B两点，且AF⊥BF，则椭圆C的离心率为
________．

13.已知奇函数f(x)＝5x＋sin x＋c，x∈(－1,1)，如果f(1－x)＋f(1－x2)＜0，则实数x的取值范围为
________．

14.已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是4________．

二、解答题：本大题共6分，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（14分）已知m＝(asin x，cos x)，n＝(sin x，bsin x)，其中a，b，x∈R.若f(x)＝m·n满足f＝2，且f(x)的导函数f′(x)的图象关于直线x＝对称．

(1)求a，b的值；

(2)若关于x的方程f(x)＋log2k＝0在区间上总有实数解，求实数k的取值范围．

解　(1)f(x)＝m·n＝asin2x＋bsin xcos x.

由f＝2，得a＋b＝8. ①

∵f′(x)＝asin 2x＋bcos 2x，且f′(x)的图象关于直线x＝对称，∴f′(0)＝f′，

∴b＝a＋b，即b＝a. ②

由①②得，a＝2，b＝2.

(2)由(1)得f(x)＝1－cos 2x＋sin 2x

＝2sin＋1.

∵x∈，∴－≤2x－≤，

∴－≤sin ≤1，

∴0≤2sin＋1≤3，即f(x)∈[0,3]．

又f(x)＋log2k＝0在上有解，即f(x)＝－log2k在上有解，

∴－3≤log2k≤0，解得≤k≤1，即k∈.

16. （14分）如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：

(1)PA⊥底面ABCD；

(2)BE∥平面PAD；

(3)平面BEF⊥平面PCD.

证明　(1)因为平面PAD∩平面ABCD＝AD.

又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD.

所以PA⊥底面ABCD.

(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，

所以AB∥DE，且AB＝DE.

所以ABED为平行四边形．所以BE∥AD.

又因为BE?平面PAD，AD?平面PAD，

所以BE∥平面PAD.

(3)因为AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形．

所以BE⊥CD，AD⊥CD.

由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.

所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD.

又E，F分别是CD和CP的中点，

所以EF∥PD，故CD⊥EF.

由EF，BE在平面BEF内，且EF∩BE＝E，

∴CD⊥平面BEF.又CD?平面PCD

所以平面BEF⊥平面PCD.

17.如图，现要在边长为
的正方形
内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为
（
不小于
）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为
的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于
，绕岛行驶的路宽均不小于
.

（1）求
的取值范围；（运算中
取
）

（2）若中间草地的造价为
元
，四个花坛的造价为
元
，其余区域的造价为
元
，当
取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？

17．解：（1）由题意得，
………
…4分

解得
即
. …………7分

（2）记“环岛”的整体造价为
元，则由题意得

， …………10分

令
，则
，

由
，解得
或
， …………12分

列表如下：

9

(9,10)

10

(10,15)

15







-

0

＋

0







↘

极小值

↗





所以当
，
取最小值.

答：当
m时，可使“环岛”的整体造价最低. …………14分

18．（16分）已知⊙C过点P(1,1)，且与⊙M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)关于直线x＋y＋2＝0对称．

(1)求⊙C的方程；

(2)设Q为⊙C上的一个动点，求·的最小值；

(3)过点P作两条相异直线分别与⊙C相交于A、B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．

解　(1)设圆心C(a，b)，则有 

解得则圆C的方程为x2＋y2＝r2，

将点P的坐标代入，得r2＝2.

故圆C的方程为x2＋y2＝2.

(2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，且·＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2.

所以·的最小值为－4.(也可由线性规划或三角代换求得)

(3)由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设PA：y－1＝k(x－1)，PB：y－1＝－k(x－1)．

由

得(1＋k2)x2＋2k(1－k)x＋(1－k)2－2＝0.

因为点P的横坐标x＝1一定是该方程的解，

故可得xA＝.

同理，xB＝.

所以kAB＝＝

＝＝1＝kOP.

所以直线AB和OP一定平行．

19．（16分）(2014·盐城调研)已知数列{an}满足a1＝2，前n项和为Sn，an＋1＝

(1)若数列{bn}满足bn＝a2n＋a2n＋1(n≥1)，试求数列{bn}前n项和Tn；

(2)若数列{cn}满足cn＝a2n，试判断{cn}是否为等比数列，并说明理由；

(3)当p＝时，问是否存在n∈N*，使得(S2n＋1－10)c2n＝1？若存在，求出所有的n的值；若不存在，请说明理由．

解　(1)根据题意得bn＝a2n＋a2n＋1＝－4n，

∴{bn}成等差数列，故Tn＝－2n2－2n.

(2)当p＝时，数列{cn}成等比数列；当p≠时，数列{cn}不为等比数列．

理由如下：∵cn＋1＝a2n＋2＝pa2n＋1＋2n

＝p(－a2n－4n)＋2n＝－pcn－4pn＋2n，

∴＝－p＋，故当p＝时，数列{cn}是首项为1，公比为－等比数列；

当p≠时，数列{cn}不成等比数列．

(3)当p＝时，由(2)知cn＝n－1，

∴c2n＝2n－1＝－2n－1.

又S2n＋1＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2n＋a2n＋1)＝a1＋b1＋b2＋…＋bn＝－2n2－2n＋2.

则由(S2n＋1－10)c2n＝1，得4n2＋4n＋16＝4n，

记f(x)＝4x－4x2－4x－16(x≥2)，

则g(x)＝f′(x)＝4xln 4－8x－4，

∴g′(x)＝(ln 4)24x－8>0(x≥2)，

∴g(x)在[2，＋∞)上单调递增，

∴g(x)≥g(2)＝f′(2)>0，即f′(x)>0，且f(1)≠0，

∴仅存在唯一的n＝3，使得(S2n＋1－10)c2n＝1成立．

20.已知函数
且x≠1)．

（1）若函数
在
上为减函数，求实数a的最小值；

（2）若
，使f(x1)≤
成立，求实数a的取值范围．

20.解：（1）因f(x)在
上为减函数，故
在
上恒成立． 2分

所以当
时，
．

又

，

故当
，即
时，
．

所以
于是
，故a的最小值为
．…………6分

（2）命题“若
使
成立”等价于

“当
时，有
”． ………7分

由（1），当
时，
，

．

问题等价于：“当
时，有
”． ……………8分

当
时，由（1），
在
上为减函数，

则
=
，故
． …………10分

当
时，由于

在
上为增函数，

故
的值域为
，即
．

(i)若
，即
，
在
恒成立，故
在
上为增函数，

于是，
=
，不合． ……………12分

(ii)若
，即
，由
的单调性和值域知，

唯一
，使
，且满足：

当
时，
，
为减函数；当
时，
，
为增函数；所以，
=
，
．

所以，
，与
矛盾，不合． ……15分

综上，得
． ………………………16分

数学Ⅱ 附加题部分

注意事项：

本试卷共2页，均为非选择题（第21题～第23题）．本卷满分为40分，考试时间为30分钟，考试结束后，请将答题卡交回．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．

21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4－1：几何证明选讲（本小题满分10分）

如图，已知
，
是圆
的两条弦，且
是线段
的

垂直平分线，若
，求线段
的长度．

B．选修4－2：矩阵与变换（本小题满分10分）

已知矩阵M＝

的一个特征值是3，求直线
在M作用下的新直线方程．

因为矩阵M＝

的一个特征值是3，

设

，

则
，解得
，所以
，…………………………5分

设直线
上任一点
在M作用下对应点为
，

则有
，整理得
，

即
，代人
，整理得
,

故所求直线方程为：
．………………………………………………10分

C．选修4－4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）

在平面直角坐标系
中，已知曲线
的参数方程是
（
是参数），若以
为极点，
轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线
的极坐标方程．

由
消去
，得
，

曲线
是以
为圆心，半径等于1的圆． ………………………………………5分

所以在极坐标系下，曲线
是以
为圆心，半径等于1的圆．

所以曲线
的极坐标方程是