东海县第二中学2014-2015高三年级第二次学情调查

数 学 试 题

满分：160分 时间：120分钟

一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸相应的位置)

1．已知全集
,集合
,
,则
▲ ．

2．若
是定义在R上的函数，则“
=0?”是“函数
为奇函数”的 ▲ ??条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个）．

3．公比为
的等比数列
的各项都是正数，且
，则
▲ ．

4．函数
的最小正周期是 ▲ ．

5．不等式
的解集为 ▲ ．

6．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则角A的大小为___▲____．

7．已知向量
是两个不共线的向量，若
与
?共线，则
= ▲ ??．

8．已知函数
(
为常数)，若
在区间
上是增函数，则
的取值范围是 ▲ ．

9．函数
的值域为 ▲ ．

10．如图，在正三棱柱
中，若各条棱长均为2，且M为
的中点，则三棱锥
的体积是 ▲ ．

11．设函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
，则关于
的不等式
的解集是 ▲ ．

12．已知二次函数
的值域是
，则
的最小值是 ▲ .

13．如图，已知
中，
，
，
是

的中点，若向量
，且
的终点
在

的内部（不含边界），则
的取值范围是 ▲ ．

14．定义在
上的可导函数
,已知
的图象如图所示，

则
的增区间是 .

二、解答题(本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15．（本小题满分14分）已知
．

（1）求
?的值；

（2）若k为实数，求
的最小值．

[

16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥
中，底面
是菱形，且
．

（1）求证：
；

（2）若平面
与平面
的交线为
，求证：
．

17．（本小题满分15分）如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图．已知
为直径，且
km,
为圆心，
为圆周上靠近
的一点，
为圆周上靠近
的一点，且
∥
．现在准备从
经过
到
建造一条观光路线，其中
到
是圆弧
，
到
是线段
.设
，观光路线总长为
.

（１）求
关于
的函数解析式，并指出该函数的定义域；

（２）求观光路线总长的最大值.

18．（本小题满分15分）设函数
.

（1）求函数
在
的最大值与最小值；

（2）若实数
使得
对任意
恒成立，求
的值.

19．（本小题满分16分）设等差数列
的前
项和为
，且
，
．数列
的前
项和为
，满足
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）写出一个正整数
，使得
是数列
的某一项；

（3）设数列
的通项公式为
，问：是否存在正整数
和
，使得
，
，
成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的有序整数对
；若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分16分）已知函数

（1）求
的单调增区间和最小值；?

（2）若函数y=
与函数y=g（x）在交点处存在公共切线，求实数a的值；?

（3）若
时，函数
的图象恰好位于两条平行直线
?之间，当
间的距离最小时，求实数m的值．

高三年级第二次调研考试

数学试题参考答案

一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)

1．{4} 2．必要不充分 3．32 4．
5．

6．
7．
8．
9．
10．

11．
12．3 13．
14．（-∞，2）

二、解答题 (本大题共6个小题，共90分)

16．（1）连接AC，交BD于点O，连接PO．

因为四边形ABCD为菱形，所以
……2分

又因为
，O为BD的中点，

所以
……………………………………4分

又因为

所以
，

又因为

所以
……………………………………7分

（2）因为四边形ABCD为菱形，所以
…………………………9分

因为
．

所以
……………………………………11分

又因为
，平面
平面
．

所以
． ………………………………………………14分

17．(1)由题意知，
， …………………………………2分

， …………………………………5分

因为
为圆周上靠近
的一点，
为圆周上靠近
的一点，且
，

所以

所以
，
…………………………………………7分

(2)记
,则
， ………………………………9分

令
，得
， ………………………………………………11分

列表

x

(0，
)



(
，
)





＋

0

－



f (x)

递增

极大值

递减



所以函数
在
处取得极大值，这个极大值就是最大值，…………14分

即
，

答：观光路线总长的最大值为
千米． ……………………………15分

18．【知识点】三角函数的图象与性质C3

【答案解析】（1）最大值为3；最小值为2（2）-1

（1）f（x）=sinx+
cosx+1=2（
sinx+
cosx）+1=2sin（x+
+1∵x∈[0，
]，∴x+
∈[
，
]∴
≤sin（x+
）≤1，

∴2≤2sin（x+
）+1≤3∴函数f（x）在[0，
]的最大值为3；最小值为2．（2）af（x）+bf（x-c）=a[2sin（x+
）+1]+b[2sin（x+
-c）+1]=1

2asin（x+
）+2bsin（x+
-c）+1=1-a-b

2asin（x+
）+2bsin（x+
）cosc-2bcos（x+
）sinc=1-a-b

（2a+2bcosc）sin（x+
）-（cos（x+
）=1-a-b

sin（x+
+
）=1-a-b因为上式对一切的x恒成立，所以
=0∴
∴由2a+2bcosc=0得：
=-1．

【思路点拨】（1）先把函数f（x）=sinx+
cosx+1化成标准形式，然后再求最值；（2）代入f（x）整理，化成标准形式，根据对任意x∈R恒成立，让系数等于0，求得
的值．

19.解：（1）设
首项为
，公差为
，由已知有
……2分

解得
，
，所以
的通项公式为
(
). .……4分

（2）当
时，
，所以
． .……5分

由
，得
，两式相减，得
，故
，

所以，
是首项为
，公比为
的等比数列，所以
． ………7分

，

要使
是
中的项，只要
即可，可取
． ………9分

（只要写出一个
的值就给分，写出
，
，
也给分）

（3）由（1）知，
，

要使
，
，
成等差数列，必须
， …………12分

即
，化简得
． …………14分

因为
与
都是正整数，所以
只能取
，
，
．

当
时，
；当
时，
；当
时，
．

综上，存在符合条件的正整数
和
，

所有符合条件的有序整数对
为(2,7)，(3,5)，(5,4)． …………16分