江门市2015届普通高中高三调研测试

数 学（理科）

本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟．

注意事项：

⒈答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。

⒉做选择题时，必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

⒊非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。

⒋所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效。

⒌考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。

参考公式：锥体的体积公式
，其中
是锥体的底面积，
是锥体的高．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

⒈已知
为实数集，
，
，则

A．
B．
C．
D．

⒉
是虚数单位，则

A．
B．
C．
D．

⒊已知三个实数：
、
、
，它们之间的大小关系是

A．
B．
C．
D．

⒋已知
是非零向量，
，则“
”是“
”成立的

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．非充分非必要条件 D．充要条件

⒌如图1，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和半圆，则该几何体的体积为

A．
B．

C．
D．

⒍在
中，
、
、
的对边分别为
、
、
，若
、
、
，则

A．
B．
C．
D．

⒎在同一直角坐标系中，直线
与圆
的位置关系是

A．直线经过圆心 B．相交但不经过圆心 C．相切 D．相离

⒏已知函数
，若
存在唯一的零点
，且
，则常数
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

(一)必做题（9～13题）

⒐双曲线
的离心率
．

⒑△ABC是等腰直角三角形，已知A(1，1)，B(1，3)，AB⊥BC，点C在第一象限，点
在△ABC内部，则点C的坐标为 ，
的最大值是 ．

⒒如图2，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是 ．

⒓若
，则
的最小值是 ．

⒔已知数列
满足
，
（
），计算并观察数列
的前若干项，根据前若干项的变化规律推测，
．

(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

⒕计算定积分：
．

⒖已知定义在区间
上的函数
，则
的单调递增区间是 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

⒗（本小题满分12分）

已知函数
，
．

⑴求
的最小正周期
和最大值
；

⑵若
，求
的值．

⒘（本小题满分14分）

已知
是等差数列，
，
．

⑴求数列
的通项公式；

⑵对一切正整数
，设
，求数列
的前
项和
．

⒙（本小题满分14分）

如图3，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC．E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．

⑴求证：PA//平面EDB；

⑵求证：PF=
PB；

⑶求二面角C-PB-D的大小．

⒚（本小题满分12分）

一艘船每小时的燃料费与船的速度的平方成正比，如果此船速度是10km/h，那么每小时的燃料费是80元．已知船航行时其他费用为500元/时，在100 km航程中，航速多少时船行驶总费用最少？此时总费用多少元？

⒛（本小题满分14分）

在平面直角坐标系
中，点A、B的坐标分别是
、
，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积是
．

⑴求点M的轨迹
方程；

⑵若直线
经过点
，与轨迹
有且仅有一个公共点，求直线
的方程．

21（本小题满分14分）

已知函数
（
是常数）．

⑴设
，
、
是函数
的极值点，试证明曲线
关于点
对称；

⑵是否存在常数
，使得
，
恒成立？若存在，求常数
的值或取值范围；若不存在，请说明理由．

（注：曲线
关于点
对称是指，对于曲线
上任意一点
，若点
关于
的对称点为
，则
在曲线
上．）

评分参考

一、选择题 BDAD CBBA

二、填空题

⒐
⒑(3，3)，
……第1空3分（横坐标、纵坐标、格式各1分），第2空2分

⒒
⒓
⒔5

⒕2 ⒖
和
……端点对给分；对1个给3分，全对5分

三、解答题

⒗解：⑴
……2分，
……4分

最小正周期
……5分，最大值
……6分

⑵依题意，
……7分

即
……8分，
……10分

……12分

⒘解：⑴依题意，数列
的公差
……2分

∵
……3分，∴
……4分

（或：设数列
的公差为
，则
……2分，解得
……4分）

数列
的通项公式
……6分

⑵由⑴得
，
……7分

……9分

时，

……11分，
……13分

时，
也符合上式，∴
，
……14分

⒙证明与求解：（方法一）

⑴连接AC，交BD于O，连接OE，则O是AC的中点……1分

OE是△PAC的中位线，OE//PA……2分

OE
平面EDB，PA
平面EDB，，∴PA//平面EDB……4分

⑵∵PD⊥底面ABCD，BC
平面ABCD，∴PD⊥BC……5分

∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD，∵PD
CD=D，∴BC⊥平面PCD……6分

BC⊥PC，EF⊥PB，∠BPC是公共角，∴△PEF～△PBC……7分

设PD=DC
，则PC
，PB
，
=
PB……8分

⑶由⑵知BC⊥平面PCD，∴BC⊥DE……9分

∵PD=DC，E是PC的中点，∴PC⊥DE，∵PC
BC=C，∴DE⊥平面PBC……10分

DE⊥PB，EF⊥PB，DE
EF=E，∴PB⊥平面DEF……11分

∴PB⊥DF，∠DFE是二面角C-PB-D的平面角……12分

在△DFE中，∵DE⊥平面PBC，∴DE⊥EF，DE
……13分

，tan∠DFE
，∠DFE
……14分

（方法二）⑴以D为原点，
、
、
分别为
轴、
轴、
轴正方向建立空间直角坐标系……1分，设PD=DC=1，则
，
，
，
，
……2分，

连接AC，交BD于O，连接OE，则O是AC的中点，
……3分

E是PC的中点，∴
，
……4分

，
，PA//OE……5分

OE
平面EDB，PA
平面EDB，，∴PA//平面EDB……6分

⑵设
……7分，

则
……8分

∵EF⊥PB，∴
……9分

即
，解得
，PF=
PB……10分

⑶由⑵知
，
……11分

，∴DF⊥PB，∠DFE是二面角C-PB-D的平面角……12分，
……13分，∠DFE
……14分

⑶（方法三）平面PBD的一个法向量是
……11分

平面PBC的一个法向量是
……12分

……13分

所以，
，二面角C-PB-D的大小为
……14分

（各评卷点、评卷教师请注意：本题方法一⑴⑵⑶问的给分依次是4分、4分、6分，而方法二三⑴⑵⑶问的给分依次是6分、4分、4分，因此，本题的给分板⑴⑵⑶问分别设计为6分、4分、6分，评卷时要么按方法一给分，要么按方法二三给分）

⒚解：设每小时燃料费与航速平方的比例系数为
，则
……1分

解得
……2分

设航速为
km/h时，总费用为
元，则

……5分，
……6分

（方法一）令
……8分，解得
（负值舍去）……9分

时，
，
时，
，∴
是极小值点，也是最小值点

……10分，此时
（元）……11分

（方法二）∵
，∴
……8分，
（元）……9分

等号成立当且仅当
……10分，解得
（负值舍去）……11分

答：航速为25km/h时，总费用最少，此时总费用为4000元……12分

⒛解：⑴设M（
，
）是轨迹上任意一点，
，
……2分

依题意，
……4分

整理化简得轨迹方程为
，其中
……6分

⑵显然所求直线
存在斜率，设
：
……7分

①当直线
经过A点时，
……8分，代入
得

……9分；

②当直线
经过B点时，
……10分，代入
得
……11分

③当点P为切点时，由
得

……12分

解
得
……13分

代入
得
，综上所述，直线
的方程为
或
或
……14分

（注：①②③三种情况独立给分）

21．证明与求解：⑴
，
……1分

解
得
，
……2分，

即
……3分

曲线
上任意一点
关于
对称的点为
……4分

直接计算知，
，点
在曲线
上，所以，曲线
关于点
对称……5分

⑵（方法一）
即
，
……6分

时，不等式恒成立……7分；

时，不等式等价于
……8分

作
，
，
，
……9分，解
、