岳阳县一中湘阴县一中高三月考联考试卷

理科数学

时量：150分钟 分值：150分

命题：岳阳县一中 周军才 审题：岳阳县一中 杨育球

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1、复数
（i为虚数单位)在复平面内所
对应的点位于 （ ）

A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限

解：
对应点坐标为

答案：C

2、已知函数
的定义域为
，
的定义域为
，则

（ ）

A．
B．
C．
D．

解:

所以
，故

答案：A

3、在
中，
若三边长构成公差为4的等差数列，则最长的边长为（ ）

A.15 B.
C.
D.

解：在
中，
则角
所对的边
最长，

三边长构成公差为4的等差数列，不防设

由余弦定理得

即

所以

答案:B

4、已知命题
，命题
，则命题
是命题
成立的 （ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

解：

故
，
，命题
是命题
成立的必要不充分条件

答案：B

5、若
是等差数列,则下列数列中仍为等差数列的个数有 （ ）

①
， ②
， ③
， ④
， ⑤
.

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

答案： D

解：
为等差数列,则由其定义可知①、③、④、⑤仍然是等差数列.

6、不等式组
的解集记为
，若
则 （ ）

A.
B.
C.
D.

答案：A

作出不等式组所表示的图象知A正确.

7、已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示,则在下列图形中,可以是该几何体的俯视图的图形有 （ ）

A.①②③⑤ B.②③④⑤ C.①②④⑤ D.①②③④

答案：D

8、设
下列关系式成立的是 （ ）

A.
B.
C.
D.

解：
所以

答案:A

9、已知函数
的定义域为
,值域为
，则
的值不可能是（ ）

A.
B.
C.
D.

解：可取
，

答案： A

10、已知
，则
的大小关系为 （ ）

A．
B．
C．
D．

解：法一:构造函数
在
时单调递减.又

所以
即

法二:结合函数
图象交点判断.

答案： A

填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11、已知
为角
终边上的一点，则
= ．

解：

答案:

12、设函数
在
内有定义，下列函数：
；
；
；
中必为奇函数的有 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案:（2）（4）

13、如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为1m的正方体
中分离出来的.如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛
体积的水.

答案:

14、已知两个向量
的夹角为
且
，设两点
的中点为点
,则
的最小值为 .

解:设

当且仅当
时取等号

的最小值为1

15、定义在
上的函数
如果满足：对任意
,存在常数
,都有
成立，则称
是
上的有界函数，其中
称为函数
的界.已知函数
在区间
上是以3为界的有界函数，则实数
的取值范围是 .

解：
对区间
上任意
恒成立

设
，记

可知
在区间上递减，
在区间
上递增

所以
最大值为－5,
最小值为1

答案：

三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16、（本小题满分12分）

已知数列
是等差数列,且
，数列
的前
项的和为
,且

.

（1）求数列
,
的通项公式;

（2） 记
,求证:
.

解：（1）设等差数列
的公差为
，又

所以

所以数列
的通项公式的

又当
时有
，所以

当
时，有
，所以

所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列

所以

由(1)知

所以

所以

17、（本小题满分12分）

已知函数
.

(1)求函数
在点
处的切线方程；

(2)若方程
有唯一解，试求实数
的值．

解　(1)因为
，所以切线的斜率
.

又f(1)＝1，故所求的切线方程为
．即
.

(2)原方程等价于
，

令
，则原方程即为
.

因为当
时原方程有唯一解，所以函数
与
的图象在
轴右侧有唯一的交点．

又
，且
，

所以当
时，
；当
时，
.

即
在
上单调递增，在(0,4)上单调递减，故
在x＝4处取得最小值，

又
且
无限趋近0时，
无限趋近正无穷大，
无限趋近正无穷大时，
也无限趋近正无穷大

从而当
时原方程有唯一解的充要条件是
.

18、（本小题满分12分）

设函数
,直线
与函数
图像相邻两交点的距离为
.

（1）求
的值；

（2）在
中，角
所对的边分别是
，若点
是函数
图像的一个对称中心，且
=3，求
面积的最大值.

解：（1）

的最大值为
，
的最小正周期为
,
…………………………6分

（2）由（1）知
,

因为点
是函数
图像的一个对称中心

，……………8分

，
，

故
，
面积的最大值为
.……………12分

19、（本小题满分13分）

等差数列
的前
项和
，数列
满足
．同学甲在研究性学习中发现以下六个等式均成立：

①
； ②
；

③
；④
；

⑤
；⑥
．

（1）求数列
的通项公式，并从上述六个等式中选择一个，求实数
的值；

（2）根据（1）计算结果，将同学甲的发现推广为关于任意角
的三角恒等式，并证明你的结论．

解：（1）当
时，
…1分

当
时，
…3分

∵当
时，
适合此式 ∴数列
的通项公式为
…5分

选择②，计算如下：
…6分

＝

＝
＝
…8分

（2）由（1）知，
，

因此推广的三角恒等式为
…10分

证明:

=

=

=
＝
…13分

20、（本小题满分13分）

已知由非负整数组成的数列
满足下列两个条件：

①
，
，

②

（1）求
；

（2）证明
；

（3）求
的通项公式及其前
项和

解：（1）由题设得
，且
、
均为非负整数，所以
的可能的值为1，2，5，10.

若
，则
，
，与题设矛盾，

若
，则
，
，与题设矛盾，

若