广东省六校联盟2015届高三第三次联考

（文科）数学试题

本试卷共4页，20小题， 满分150分．考试用时120分钟

参考公式：锥体的体积公式
，其中
是锥体的底面积，
是锥体的高．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设函数
的定义域为
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．下列函数中，既是偶函数又在
上单调递增的是（ ）

A．
B．
C．
D．

3．已知点
满足
，则
的最小值是（ ）

A．
B．
C．
D．

4．双曲线
的离心率
（ ）

A．
B．
C．
D．

5．对于任意向量
、
、
，下列命题中正确的是（ ）

A．
B．

C．
D．

6．已知
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

7．等差数列
中，
，则
（ ）

A．8 B．12 C．16 D．24

8．圆
关于直线
对称的圆的方程为（ ）

A．
B．

C．
D．

9．一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图1所示．若一个平行于圆锥底面的

平面将此圆锥截成体积之比为1﹕7的上、下两部分，则截面的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知平面上的线段
及点
，在
上任取一点
，线段
长度的

最小值称为点
到线段
的距离，记作
．设
是长为2的线段，

点集
所表示图形的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

11．已知
，
，则
________．

12．若
，则“
成立”是“
成立”的________条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）．

13．如图2，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，

1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域
（图中白色部分）．

若在此三角形内随机取一点
，则点
落在区域
内的概率为________．

14．已知函数
，若关于
的不等式
有解，

则实数
的取值范围为________．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

15．（本小题满分12分）

已知函数
的部分图象

如图3所示，其中点P是图象的一个最高点．

（1）求函数
的解析式；

（2）已知
，且
，求
． 图3

16．（本小题满分12分）

某种零件按质量标准分为
五个等级．现从一批该零件中随机抽取
个，对其等

级进行统计分析，得到频率分布表如下：

等级













频率













（1）在抽取的
个零件中，等级为
的恰有
个，求
；

（2）在（1）的条件下，从等级为
和
的所有零件中，任意抽取
个，求抽取的
个零件等级恰好相同的概率．

17．（本小题满分14分）

如图4，在四棱锥
中，
，
，且
平分
，
为
的中点，
,
，
．

（1）证明：
；

（2）证明：
；

（3）求三棱锥
的体积．

图4

18．（本小题满分14分）

已知数列
的前
项和为
，且
，
（
且
）．

（1）求数列
的通项公式
；

（2）设
，求数列
的前
项和
．

19．（本小题满分14分）

已知函数
，其中
为常数，且
．

（1）若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，求
的值；

（2）若函数
在区间
上的最小值为
，求
的值．

20．（本小题满分14分）

设
,
分别是椭圆
：
的左、右焦点，过
作倾斜角为
的直线交椭圆
于
,
两点,
到直线
的距离为
,连接椭圆
的四个顶点得到的菱形面积为
．

（1）求椭圆
的方程；

（2）已知点
，设
是椭圆
上的一点，过
、
两点的直线
交
轴于点
,若
, 求
的取值范围；

（3）作直线
与椭圆
交于不同的两点
,
,其中
点的坐标为
,若点
是线段
垂直平分线上一点,且满足
,求实数
的值．

广东省六校联盟2015届高三第三次联考

（文科）数学试题参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

A

B

A

D

D

C

A

C

D



二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

11．
12．充要 13．
14．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

15．解：（1）由函数最大值为2 ，得A=2，………………………………………………1分

由图可得周期
，………………………………………………2分

由
，得
． ………………………………………………3分

． ………………………………………………5分

（2）
，………………………．8分

．………………12分

16．解：（1）由频率分布表得
，即
． ………………2分

由抽取的
个零件中，等级为
的恰有
个，得
． ………………4分[

所以
． …………………………………………………5分

（2）解：由（1）得，等级为
的零件有
个，记作
；等级为
的零件有
个，记作
．从
中任意抽取
个零件，所有可能的结果为：

共计
种．……9分

记事件
为“从零件
中任取
件，其等级相等”．

则
包含的基本事件为
共4个． …………………………11分

故所求概率为
． ……………………………………………………………12分

17．解：（1）证明：如图，设
，连接
，因为
，且DB平分
，

所以
为
中点，又因为E为PC的中点，所以
为
的中位线，所以
，

又因为
平面
，所以
．………………………………………4分

（2）证明：因为
，且DB平分
，所以
，又
，

，所以
，又因为
，

且
平面
、
平面
，所以
平面
，又
平面
，

所以
．………………………………………8分

（3）由（2）知
，又因为
、
，

所以
，所以
；……………………………11分

又因为
，
，
为
中点，

所以
到平面
的距离为
；………………13分

所以
，

即三棱锥
的体积为
．…………………………………………………14分

18．解：（1）
由题
……①
……②

由①
②得：
，即
，…………………………4分

当
时，
，
，

,
，………………………… 5分

所以，数列
是首项为
，公比为
的等比数列，故
（
）．………………… 6分

（2）由（1）
（
），

所以
，…………………… 10分

所以

． …………………………………… 14分

19．解：
(
) …………………………… 2分

（1）因为曲线
在点（