江门市2015届普通高中高三调研测试

数 学（文科）

本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟．

注意事项：

⒈答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。

⒉做选择题时，必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

⒊非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。

⒋所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效。

⒌考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。

参考公式：锥体的体积公式
，其中
是锥体的底面积，
是锥体的高．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

⒈设
，
，则

A．
B．
C．
D．

⒉

A．
B．
C．
D．

⒊已知
是虚数单位，若复数
（
，
）在复平面内对应的点位于第四象限，则复数
在复平面内对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

⒋双曲线
的离心率

A．
B．
C．
D．

⒌将正弦曲线
上所有的点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得曲线对应的函数的最小正周期

A．
B．
C．
D．

⒍已知
是等比数列，
，
，则

A．
B．
C．
或
D．以上都不对

⒎函数
在其定义域上是

A．单调递增的奇函数 B．单调递增的减函数

C．偶函数且在
上单调递增 D．偶函数且在
上单调递减

⒏直线
经过点
且与圆
相切，则直线
的方程是

A．
B．

C．
D．

⒐某三棱锥的三视图如图1所示，这个三棱锥最长棱

的棱长是

A．
B．

C．
D．

⒑已知函数
，其中
是自然对数的底数，若直线
与函数
的图象有三个交点，则常数
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．

(一)必做题（11～13题）

⒒抛物线
的准线方程为 ．

⒓若变量
，
满足约束条件
，则
的最小值为 ．

⒔已知定义在区间
上的函数
，则
的单调递减区间是 ．

(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

⒕如图2，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面
上，且棱AB所在的直线与棱CD所在的直线互相平行，正方体的六个面所在的平面与直线CE、EF相交的平面个数分别记为
，
，那么
；
．

⒖若函数
满足条件：①
，
；②
，
；③
．则⑴
；（写出一个满足条件的函数即可）

⑵根据⑴所填函数
，
．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

⒗（本小题满分12分）

已知函数
，
，且
．

⑴求
的值；

⑵若
，
是第二象限角，求
．

⒘（本小题满分14分）

如图3，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的一点．

⑴求证：平面PAC⊥平面PBC；

⑵若PA=AB=2，∠ABC=30°，求三棱锥P-ABC的体积．

⒙（本小题满分14分）

设数列
、
满足：
，
，
．

⑴求
的值；

⑵求数列
的通项公式；

⑶求数列
的前
项和
的值．

⒚（本小题满分12分）

某农户建造一间背面靠墙的小房，已知墙面与地面垂直，房屋所占地面是面积为12 m2的矩形，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5200元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？

⒛（本小题满分14分）

在平面直角坐标系
中，椭圆
的焦点为
、
，且经过点
．

⑴求椭圆
的标准方程；

⑵若点
在椭圆
上，且
，求
的值．

21（本小题满分14分）

已知函数
（
）．

⑴求曲线
在点
处的切线方程；

⑵是否存在常数
，使得
，
恒成立？若存在，求常数
的值或取值范围；若不存在，请说明理由．

评分参考

一、选择题 BBADC CABCD

二、填空题

⒒
（或等价方程） ⒓
⒔
（或
，端点对即给5分）

⒕4，4（填对任何一空给3分，全对给5分）

⒖
或
或其他或
（其中
）……第1空3分，第2空2分；

若第1空填诸如
或
……本小题给2分

三、解答题

⒗解：⑴依题意，
……2分，
……3分，
……4分

⑵（方法一）由⑴得，
……6分

由
得，
……7分

，
……8分

……9分，
……10分

解得
或
……11分

∵
是第二象限角，
，∴
……12分

（方法二）由⑴得，
……5分

由
得，
……6分

∵
是第二象限角，
，
……7分，∴
是第二或第三象限角（由
知
是第三象限角），
……9分（列式1分，计算1分）

……11分

……12分

⒘证明与求解：⑴设⊙O所在的平面为
，

依题意，PA
，BC
，∴PA
BC……2分

∵AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A、B的一点，∴AC
BC……3分

∵PA∩AC=A，∴BC
平面PAC……5分

∵BC
平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC……7分

⑵∵PA
，∴三棱锥P-ABC的体积
……9分

∵AB=2，∠ABC=30°，AC
BC，∴AC=1，BC=
……11分

……13分

……14分

⒙解：⑴
……2分

⑵
……3分

……5分，
……6分

⑶由已知，
……8分

……10分

……13分，
……14分

⒚解：设房屋地面长为
m，宽为
m，总造价为
元（
，
，
），则

……1分

……4分

∵
，∴
……5分

∵
，
，∴
……8分，
……9分

当
时……10分，即
时，
取最小值，最小值为34000元……11分

答：房屋地面长
m，宽
m时，总造价最低，最低总造价为
元……12分

⒛解：⑴（方法一）依题意，设椭圆
的标准方程为
（
）……1分

……2分，

，∴
……4分

……5分，∴
……6分

椭圆
的标准方程为
……7分

（方法二）依题意，设椭圆
的标准方程为
（
）……1分

∵
……2分，∴
，
……3分

∵点
在椭圆C上，∴
……4分

……5分，解得
或
（负值舍去）……6分

，椭圆
的标准方程为
……7分

⑵
……9分

点
的坐标为
……10分

∵点
在椭圆
上，∴
……11分

即
……12分，解得
或
……14分

21．解：⑴
……1分，所求切线的斜率
……2分

所求切线方程为
（或
）……3分

即
……4分

⑵（方法一）由
，作函数
，其中
……5分

……6分













－

－

0

+





↘

↘

极小值

↗



……9分（每行1分）

由上表可知，
，
；
，

……11分

由
，当
时，
，
的取值范围为
，当
时，
，
的取值范围为
……13分

∵
，
恒成立，∴
……14分

（方法二）
时，
不符合题意……5分

时，解
得
，















－

0

+

0

－





↘

极小值

↗

极大值

↘



……8分，由
……10分，解得
……11分

此时
，
……12分

∴
，即
，
……13分

解
得
，综上所述
……14分