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2015届广东六校联盟第三次联考试题

数学（理科）

（满分150分） 考试时间：120分钟

参考公式：柱体的体积公式
，锥体的体积公式
.

一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案填涂在答题卡相应位置）

1. 设集合
，则图中阴影部分所表示的集合为( ）

A.
B.

C.
D.

2. 已知复合命题
是真命题，则下列命题中也是真命题的是（ ）

A.
B.
C.
D.

3. 已知向量
，若
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

4. 下列函数中，在其定义域上为奇函数的是（ ）

A.
B.

C.
D.

5. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）

A.
B.
C.
D.

6. 已知等差数列
中，
，前
项和为
，

等比数列
满足
，
，前
项和为
，则（ ）

A.
B.
C.
D.

7. 已知直线
，
,若
，则
（ ）

A.
或
B.
或
C.
D.

8. 已知函数
的定义域为
，如果存在实数
，使对任意的
，都有
，

则称函数
为有界函数，下列函数：

①
②

③
； ④

为有界函数的是（ ）

A.②④ B.②③④ C.①③ D.①③④

二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共计30分.）

9. 函数
在点
处的切线方程为___________________.

10. 在
中，
，则此三角形的最短边的长度是________.

11. 已知递增的等差数列
满足
，则
___________.

12. 已知圆
上的点到直线
的最近距离为
，则
______.

13. 如图，为了测量两座山峰上两点P、Q之间的距离，选择山坡上

一段长度为
米且和P,Q两点在同一平面内的路段AB的

两个端点作为观测点，现测得四个角的大小分别是
,

,可求得P、Q两点间的距离为 米.

14. 已知
；

如果
是
的充分但不必要条件，则
的取值范围是_ .

三、解答题（本大题共六个小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）

15.（本小题满分12分）

已知函数
（其中
）的最小正周期为
.

（1）求
的值；

（2）设
，
，
，求
的值.

16．（本小题满分12分）

寒假期间校学生会拟组织一次社区服务活动，计划分出甲、乙两个小组，每组均组织①垃圾分类宣传，②网络知识讲座，③现场春联派送三项活动，甲组计划
的同学从事项目①，
的同学从事项目②，最后
的同学从事项目③；乙组计划
的同学从事项目①，另
的同学从事项目②，最后
的同学从事项目③，每个同学最多只能参加一个小组的一项活动，从事项目①的总人数不得多于
人，从事项目②的总人数不得多于
人，从事项目③的总人数不得多于
人，求人数足够的情况下，最多有多少同学能参加此次的社区服务活动？

17.（本小题满分14分）

如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD-A1B1C1D1的四个侧面，记底面上一边

，连接A1B,A1C,A1D.

（1）当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时，求二面角B-A1C-D的值；

（2）线段A1C上是否存在一点P，使得A1C
平面BPD，若有，求出P点的位置，没有请说明理由.

18.（本小题满分14分）

已知数列
中，
，数列
满足
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）证明：
.

19.（本小题满分14分）

已知直角坐标系中，圆
的方程为

，两点
，

动点P满足
.

（1）求动点P的轨迹C方程；

（2）若对于轨迹C上的任意一点P，总存在过点P的直线
交圆
于M,N两点，

且点M是线段PN的中点，求
的取值范围.

20.（本小题满分14分）

已知函数
.

（1）求函数
的单调区间和极值；

（2）若
，函数
的图像上存在
两点，其横坐标满足
，

且
的图像在此两点处的切线互相垂直，求
的取值范围.

六校联盟第三次联考理科数学参考答案及评分标准

一、选择题：CBAD DABC

二、填空题：9.
； 10.
； 11.
12.0或者
； 13. 900；

14.
或者填写
或者直接
均可

三、解答题：

15. 解：⑴
…………3分

，所以
. ………………………………………………6分

注：如果
等正确结果的话相应给分即可.

⑵

所以
………………………………………………………………7分

所以
…………………………………………………………………8分

因为
，所以
，10分

所以
. …………………………12分

16.解：设甲组
名同学，乙组
名同学，根据题意有：……………………1分

整理得：

可行域如图：

参加活动的总人数
，变形为
，当经过可行域内的点，斜率为
的直线在
轴上

截距最大时，目标函数
取得最大值. 由可行域图像可知，直线
经过

和
的交点A时，在
轴上截距最大. ……………8分

解方程组
得：
……………………………………10分

所以
…………………………………………………11分

答：甲组24名同学参加，乙组20名同学参加，此时总人数达到最大值44人.………12分

17.解：法一：⑴ 根据题意，长方体体积为

……2分

当且仅当
，即
时体积
有最大值为1

所以当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时，底面四边

形ABCD为正方形 ……4分

作BM
A1C于M，连接DM，BD ……………5分

因为四边形ABCD为正方形，所以
与
全等，故DM
A1C，所以
即为所求二面角的平面角 ……6分

因为BC
平面AA1B1B，所以
为直角三角形

又
，所以
，同理可得，

在
BMD中，根据余弦定理有：
………………8分

因为
，所以

即此时二面角B-A1C-D的值是
. ……………………………………………………9分

⑵ 若线段A1C上存在一点P，使得 A1C
平面BPD，则A1C
BD ………………10分

又A1A
平面ABCD,所以A1A
BD，所以BD
平面A1AC

所以BD
AC ……………………………………………………………………12分

底面四边形ABCD为正方形，即只有ABCD为正方形时，线段A1C上存在点P满足要求，否则不存在

由⑴知，所求点P即为BM
A1C的垂足M

此时，
……………………………………………………14分

法二：根据题意可知，AA1, AB,AD两两垂直，以AB为
轴，AD为
轴，AA1为
轴建立如图所示的空间直角坐标系：

⑴长方体体积为
………………………2分

当且仅当
，即
时体积
有最大值为1 …………………………………3分

所以当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时，底面四边形ABCD为正方形…………………4分

则
，

设平面A1BC的法向量
，则

取
，得：
………………6分

同理可得平面A1CD的法向量
……7分

所以，
………………8分

又二面角B-A1C-D为钝角，故值是
.…………9分

（也可以通过证明B1A
平面A1BC写出平面A1BC的法向量）

⑵ 根据题意有
，若线段A1C上存在一点P满足要求，不妨
，可得

即：
…………………………11分

解得：
…………………………………………………………13分

即只有当底面四边形是正方形时才有符合要求的点P，位置是线段A1C上
处. ………………………………………………………14分

18.解：⑴
…………………………………………2分

…………………6分

又
，所以数列
是首项为
，公差为
的等差数列，
…………8分

（也可以求出
，猜想并用数学归纳法证明，给分建议为计算前2项1分，计算前3项或者更多2分，猜想通项公式2分，数学归纳法证明4分

数学归纳法证明过程如下：

① 当
时，
符合通项公式
；

② 假设当
时猜想成立，即
，

那么当
时

，

即
时猜想也能成立

综合①②可知，对任意的
都有
.

⑵ 当
时，左边=
不等式成立；……………………………………9分

当
时，左边=
不等式成立； …………………………10分

当
时，

左边=

不等式成立 …………………………………………………………………………14分

19.解：⑴ 设
，因为
，所以

消去
并注意到
可得