一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1 若复数满足

(为虚数单位),则的共轭复数为（ 　）

A．
B．
C．
D．

2 .已知几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）

A.
B. 4 C.
D.

3. 设α、β、γ为不同的平面，m、n、l为不同的直线，则m⊥β的一个充分条件为（ ）

A. α⊥β, α∩β=l , m⊥l B. α∩γ=m, α⊥γ, β⊥γ

C. α⊥γ, β⊥γ, m⊥α D. n⊥α, n⊥β, m⊥α

4. 设等差数列
的前项和为
，若
，
，则
( )

A．63 B．45 C．36 D．27

5 设
，则a，b，c的大小关系是 ( )

A．
B.
C.
D.

6. 设
，向量
且
，则
=（ ）

A .0 B.1 C.2 D.-2

7.如图，一直线
与平行四边形
的两边
分别交于
两点，

且交其对角线于，其中，
,
,
，

则
的值为( )

A．
B．
C．
D．

8．对于下列命题：①命题“
”的否定是“
”；②在
中“
”的 充要条件是“
”；③设
,
，
,则
；④将函数
图象的横坐标变为原来的3倍，再向左平移
个单位，得到函数

）图象。其中真命题的个数是（ ）

A. 4 B. C. D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30．

（一）必做题：（9—13）

9.已知
。

10 已知函数
的图像如图所示，

则
。

11．过点
作曲线
的切线,设该切线与曲线及轴所围图形的面积为

则
.

12.已知
，函数
若
，则实数的取值范围为 .

13．如图，多面体OABCD，AB=CD=2，AD=BC=
，AC=BD=
，且OA，OB，OC两两垂直，给出下列 5个结论：

①三棱锥O—ABC的体积是定值；

②球面经过点A、B、C、D四点的球的直径是
；

③直线OB//平面ACD；

④直线AD与OB所成角是600；

⑤二面角A—OC—D等于300．

其中正确的结论是____________________。

（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）

14. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,圆
上的点到直线
的

距离的最小值是 .

15.(几何证明选讲选做题)如图所示，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交

于C，D两点，AB切⊙O于B，弦MN过CD的中点P．已知AC=4，AB=6，

则MP·NP= 　　　 ．

三、解答题（共80分）

16（本题满分12分） 已知
．

（1）求f(x)的周期及其图象的对称中心；

（2）△ABC中，角A、B、C所对的边分别是、b、c，满足（2c）cosB=bcosC，

求
的值．

17.（本小题满分12分）

甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设甲、乙、丙面试合格的概率分别是
，
，
，且面试是否合格互不影响.求：

（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率;

（Ⅱ）签约人数
的分布列和数学期望.

18.（本小题满分14分）

如图，在三棱锥
中，
底面ABC,
，

AP=AC, 点，分别在棱
上，且BC//平面ADE

（Ⅰ）求证：DE⊥平面
；

（Ⅱ）当二面角
为直二面角时，求多面体ABCED与PAED的体积比。

19．（本小题满分14分）等比数列{
}的前n项和为
， 已知对任意的
，点
，均在函数
且
均为常数)的图像上.

（1）求r的值；

（2）当b=2时，记
求数列
的前项和

20. （本题满分14分）如图,四棱柱
的底面
是平行四边形,且
,
,
,为
的中点,
平面
.

(Ⅰ)证明:平面
平面
;

(Ⅱ)若
,试求异面直线
与
所成角的余弦值;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试求二面角
的余弦值.

21．（本小题满分14分）

已知函数
．

（1）当
时，如果函数
仅有一个零点，求实数
的取值范围；

（2）当
时，试比较
与的大小；

（3）求证：
（
）．

佛山一中2015届高三上学期期中考数学（理科）

参考答案及其评分标准

就是2sinA cosB = sinBcosC +sinC cosB

即2sinAcosB=sin(B+C) =sinA………..9

因为2sinA>0所以cosB=
又因为0

所以，f(B)=sin(
………………..12

17. 解: 用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，

且P（A）＝P（B）＝
， P（C）＝
…………………2分

（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率是

……………4分

（Ⅱ）
的可能取值为0，1，2，3.

＝

＝
…………………6分

=

=
…………………8分

…………………9分

…………………10分

所以，
的分布列是

0

1

2

3





P











………11分

的期望
………12分

18解：（Ⅰ） BC//平面ADE, BC平面PBC, 平面PBC平面ADE=DE

BC//ED …………2分

∵PA⊥底面ABC，BC底面ABC ∴PA⊥BC. ………3分

又
，∴AC⊥BC.

∵PA与AC是平面PAC内的两条相交直线…………5分

∴BC⊥平面PAC. …………6分

又BC//ED

∴DE⊥平面
. …………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， DE⊥平面PAC，

又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，

∴∠AEP为二面角
的平面角， …………10分

∴
，即AE⊥PC， …………11分

∵AP=AC, ∴E是PC的中点，ED是PBC的中位线。………12分

………14分

（用向量做对，可酌情给分）

19解:因为对任意的
,点
，均在函数
且
均为常数)的图像上.所以得
,………2分

当
时,
,………3分

当
时,
, ………5分

又因为{
}为等比数列,

所以
, 公比为
, 所以
………7分

（2）当b=2时，
,
………9分

则

相减,得

所以
………14分

20、解(Ⅰ)依题意,

所以
是正三角形,

又

所以
,
…………2分

因为
平面
,
平面
,所以
…………3分

因为
,又
在平面
内

所以
平面
…………4分

因为
平面
,所以平面
平面
…………5分

(Ⅱ)取
的中点,连接
、
,连接
,则

所以
是异面直线
与
所成的角 …………7分

因为
,
,

所以
,
,

所以
…………9分

(Ⅱ)解法2:以为原点,过且垂直于
的直线为轴,
所在直线为轴、
所在直线为建立右手系空间直角坐标系

设
(
),

则

(Ⅰ)设平面
的一个法向量为
,

则

,取
,则
,从而
,

同理可得平面
的一个法向量为
,

直接计算知
,所以平面
平面

(Ⅱ)由
即

解得

,

所以异面直线
与
所成角的余弦值

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知
,平面
的一个法向量为

又
,
设平面
的法向量

则
得
，令
,则

所以
…………11分

设二面角
的平面角为,且为锐角

则

…………13分

所以二面角
的余弦值为
…………14分

21、解：（1）当
时，
，定义域是
，

， 令
，得
或
． …2分

当
或
时，
，当
时，
，

函数
在
、
上单调递增，在
上单调递减． ……………4分

的极大值是
，极小值是
．

当
时，
； 当
时，
，

当
仅有一个零点时，
的取值范围是
或
．……………5分

（2）当
时，
，定义域为
．

令
，
，

在
上是增函数． …………………………………7分

①当
时，
，即
；

②当
时，
，即
；

③当
时，
，即
． …………………………………9分

（3）（法一）根据（2）的结论，当
时，
，即
．

令
，则有
，
． ……………12分

．………………………………14分

(法二)当
时，
．
，

，即
时命题成立． ………………………………10分

设当
时，命题成立，即
．

时，

．

根据（2）的结论，当
时，
，即
．

令
，则有
，

则有
，即
时命题也成立．……………13分

因此，由数学归纳法可知不等式成立． ………………………………14分

（法三）如图，根据定积分的定义，

得

．……11分

，

． ………………………………12分

，

又
，
，

．
．…………………14分