雅安中学2015届高三12月月考数学（理）试题

考试时间：120分钟 总分：150分

命题：高三数学备课组

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1设集合A={1,2,3,5,7}，B={x∈Z|1

A 、{1，4，6，7} B、{2，3，7} C、{1，7} D、{1}

2命题“存在
R，使得

0”的否定是 （ ）

A、不存在
R, 使得
>0 B、存在
R, 使得

0

C、对任意的
R, 使得

0 D、对任意的
R, 使得
>0

3.已知
的取值如下表所示

0

1

3

4





2.2

4.3

4.8

6.7



从散点图分析
与
的线性关系，且
，则
（ ）

A. 2.2 B. 2.6 C.3.36 D.1.95

4．在等差数列
中，已知
与
是方程
的两个根，若
，则
=（ ）

（A）2012 （B）2013 （C）2014 （D）2015

5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）

（A）2 （B）1 （C）
（D）

6.一个几何体的三视图及其尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的表面积为( )

（A）
（B）

（C）
（D）

7.有一个正方体的玩具，六个面标注了数字1，2，3，4，5，6，甲、乙两位学生进行如下游戏：甲先抛掷一次，记下正方体朝上的数字为
，再由乙抛掷一次，朝上数字为
，若
就称甲、乙两人“默契配合”，则甲、乙两人“默契配合”的概率为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

8.已知函数
的两个极值分别为
和
，若
和
分别在区间（0，1）与（1，2）内，则
的取值范围为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

9.已知两个实数
，满足
，命题
;命题
。则下面命题正确的是（ ）

A.
真
假 B.
假
真 C.
真
真 D.
假
假

10．若实数
满足
，则
的最小值为 （ ）

A．
B．
C．2 D．4

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。将答案填在题中的横线上。）

11.集合
，
,则
。

12. 已知圆C的圆心为（0,1），直线
与圆C相交于A，B两点，且
，则圆C的半径为 .

13.如图所示的几何体，是将高为2、底面半径为1的圆柱沿过旋转轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后形成的封闭体．O1，O2，
分别为AB，BC，DE的中点，F为弧AB的中点，G为弧BC的中点．则异面直线AF与
所成的角的余弦值为

14.在平面直角坐标系
中，过定点
的直线
与曲线
交于
点，则
．

15、如图，A是两条平行直线
之间的一个定点，且A到
的距离分别为
，设
的另两个顶点B,C分别在
上运动，且
，
，则

以下结论正确的序号是____________.

①
是直角三角形；②
的最大值为
;

③
;

④设
的周长为
，
的周长为
，则
.

三、解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

16.已知数列
满足
.

（1）求
的值；

（2）求证：数列
是等比数列；

（3）求
，并求
前
项和

17.某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=
，∠ADE=
。

（1）该小组已经测得一组
、
的值，tan
=1.24，tan
=1.20，请据此算出H的值；

（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使
与
之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，
-
最大？

18．某次网球比赛分四个阶段，只有上一阶段的胜者，才能参加继续下一阶段的比赛，否则就被淘汰，选手每闯过一个阶段，个人积10分，否则积0分．甲、乙两个网球选手参加了此次比赛．已知甲每个阶段取胜的概率为
，乙每个阶段取胜的概率为
．

（1）求甲、乙两人最后积分之和为20分的概率；

（2）设甲的最后积分为X，求X的分布列和数学期望.

19.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA， PC的中点。

（I）记平面BEF与平面ABC的交线为
，试判断直线
与平面PAC的位置关系，并加以证明。

（II）设（I）中的直线
与圆O的另一个交点为D，记直线DF与平面ABC所成的角为
，直线DF与直线BD所成的角为
，二面角
的大小为
，求证：
。

20.设函数

，其中
曲线
在
处的切线方程为

(1)求函数
的解析式;

（2）若
的图像恒在
图像的上方，求
的取值范围；

（3）讨论关于
的方程
根的个数.

21. 已知抛物线
的通径长为4，椭圆
的离心率为
，且过抛物线
的焦点.

(1)求抛物线
和椭圆
的方程；

过定点
引直线
交抛物线
于
两点(点
在点
的左侧),分别过
作抛物线
的切线
,且
与椭圆
相交于
两点.记此时两切线
的交点为点
.

①求点
的轨迹方程；

②设点
,求
的面积的最大值,并求出此时点
的坐标.

雅安中学2014—2015学年上期（12月）

高2012级高三数学参考答案（理工类）

1.C.解：不要错选为B.

2．D．

3.B解：计算
，又由公式
得
，选B

4．C．由题意知，
，
。又
，∴
，
，

∴
。∴
，∴
。故选C。

5．D．由程序框图知，
，
；
，
；
，
；
，
；…∴
是以3为周期循环出现的，

又
，∴
,
，∴
,

当
时，便退出循环，∴输出
。

6.B.还原为立体图形是半个圆锥，侧面展开图为扇形的一部分，计算易得。

7.D．甲、乙两人抛掷玩具所有可能的事件有36种，其中“甲、乙两人‘默契配合’”所包含的基本事件有：（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3），（4，4），（4，5），（5，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共16种。

∴甲乙两人“默契配合”的概率为
。∴选D。

8.A解析：因为
，由题意可知：

画出
，
满足的可行域，如图1中的阴影部分（不包括边界）所示，
表示可行域内的点与点D（1，2）的连线的斜率，记为
，观察图形可知，
，而
，
，所以
。

9.B【解析】构造函数
，求导画图分析得到
必须均小于0而且一个比-1大一个比-1小，所以答案选B

10．C【解析】因为
表示点
与
之间的距离，所以先求
的最小值．由
可知
，即点
与
分别是曲线
与直线
上的动点，因此要求
的最小值，只要曲线
上点到直线
上点的距离的最小值，如下图所示：

设曲线
在点
处的切线
与直线
平行，则
，所以
，解得
或
（舍），所以点
的坐标为
，则点
到直线
的距离为
，所以
的最小值为
．

11．
解 集合
表示
的定义域，集合
表示
的值域，取交集为

12.
.解圆心到直线的距离
。∴
。∴所求圆的半径为
.

13.

14． 4【解析】因为
相当于对函数
的图象进行向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，所以曲线
的图象关于点
成中心对称，可知
是线段
的中点，故
．

15．①②④【解析】由正弦定理得：
，则
，又
，
，

所以①正确；设
，则
，
，
，
，

则
，
，所以②正确；

，所以③错误；

，令
，

（当
时取等），所以④正确。

16.解：（1）
. ……3分

，又
，

数列
是以
为首项，
为公比的等比数列. ……7分

（注：文字叙述不全扣1分）

由（2）得
, ……9分

. ……12分

17.[解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。

（1）
，同理：
，
。

AD—AB=DB，故得
，

解得

因此，算出的电视塔的高度H是124m。

（2）由题设知
，得
，

，（当且仅当
时，取等号）

故当
时，
最大。

因为
，则
，所以当
时，
-
最大。

故所求的
是
m。

18．【解析】（1）设“甲、乙两人最后积分之和为20分”为事件
“甲得0分、乙得20分”为事件
，“甲得10分、乙得10分”为事件
，“甲得20分、乙得0分”为事件

，又
，
，
，

；（6分）

（2）X的取值可为：
,