石室中学高2015届“一诊”模拟考试

数学试题（文科）

考试时间：120分钟 总分 150分

选择题（第题5分，共50分）

1.已知集合
，则集合
（）

A.
B.
C.
D.

2．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件。为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为
的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则
（）

A．9 B．10 C．12 D．13

3.已知
均为单位向量，且它们的夹角为
，那么
（）

A.1 B.
C.
D.

3.设
，
是虚数学单位，则 “
”是“复数
为纯虚数”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．若某程序框图如图所示，则执行该程序输出
的值是（）

A．21 B．26 C．30 D．55

5．
的值等于（）

A．
B．0 C．8 D．10

6．已知
是平面，
是直线，则下列命题正确的是（）

A．若
则

B．若
则
C．若
则
D．若
，则

7．如果实数
满足等式
，那么
的最大值是（）

A．
B．
C．
D．

8．关于
的议程
在
上有实根，则实数
的取值范围是（）

A．
B．
C．
D．

9．点
为椭圆
的左右焦点，若椭圆上存在点
使
为正三角形，那么椭圆的离心率为（）

A．
B．
C．
D．

10．已知函数
，设方程
的四个实根从小到大依次为
，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中一定正确的为（）

A．
B．

C．
D．

第II卷（非选择题，共100分）

填空题（第题5分，共25分）

11．已知
是虚数单位，则复数
的共轭复数是。

12．若
，且
为第三象限角，则
。

13．若
，则
的最上值为。

14．直线
与圆
相交于
两点（其中
是实数），且
是直角三角形（
是坐标原点），则点
与点
之间距离的最大值为。

15．正方体
为棱长为1，动点
分别在棱
上，过点
的平面截该正方体所得的截面记为
，设
其中
，下列命题正确的是

（写出所有正确命题的编号）

①当
时，
为矩形，其面积最大为1；

②当
时，
为等腰梯形；

③当
时，
为六边形；

④当
时，设
与棱
的交点为
，则
。

解答题（16-19题每题12分，20题13分，21题14分，共75分）

16．某种零件质量标准分为1，2，3，4，5五个等级。现从一批该零件中随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：

等级

1

2

3

4

5



频率

0.05

m

0.15

0.35

n



（I）在抽取的20个零件中，等级为5的恰好有2个，求m，n;

（II）在（I）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率。

17．设
的内角
所对的边分别为
，已知
，

（I）求
的周长；（II）求
的值。

17．为了解甲、乙两厂的产品质量，已知甲厂生产的产品共有98件，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取出14件和5件，测量产品中的微量元素
的含量（单位：毫克）。下表是乙厂的5件产品的测量数据：

编号

1

2

3

4

5



x

169

178

166

175

180



y

75

80

77

70

81



（I）当产品中微量元素
满足
时，该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；

（II）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取2件产品中优等品数
的分布列及其均值（即数学期望）。

18．如图1，在四棱锥
中，
底面
，面
为正方形，
为侧棱
上一点，
为
上一点。该四棱锥的正（主）侧图和侧（左）视图如图2所示。

（I）证明：
∥平面
；

（II）证明：平面
平面
。

19．正项等差数列
中，已知
，且
构成等数列
的前三项。

（I）求数列
的通项公式；

（II）求数列
的前
项和
。

20．已知椭圆C的左，右焦点分别为
，且该椭圆过点
。

（I）求椭圆C的方程；

（II）已知定点
，过原点
的直线
与曲线C交于
两点，求
面积的最大值。

21．已知函数
，
。

（I）求函数
的单调区间；

（II）若函数
在区间
上是减函数，求实数
的最小值；

（III）若函数
恰有两个零点，求实数
的取值范围。

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