本试题卷分选择题和非选择题两部分。由第Ⅰ部分（选择题）和第Ⅱ部分（非选择题）组成，共4页。满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2、答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3、答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4、所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5、考试结束后，只将答题卷交回。

第一部分（选择题）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1、i为虚数单位，则
（ ）

A、
B、
C、 D、

2、已知集合
，集合
（为整数集），则
（ ）

A、
B、
C、
D、

3、已知命题p：对任意
，总有
；q：
是
的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）

A、
B、
C、
D、

4、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A、
B、

C、
D、

设
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）

A、若
则
B、若
则

C、若
则
D、若
则

阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s的值为（ ）

A、
B、

C、
D、

设函数
满足
当
时，
，则
（ ）

A、
B、
C、
D、

8、已知曲线
若过曲线C外一点
引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为（ ）

A、
B、
C、 D、

9、已知
分别是双曲线
的左、右焦点，过
且与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段
为直径的圆外，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）

A、
B、
C、
D、

10、若函数
在区间
内单调递增，则a取值范围是（ ）

A、
B、
C、
D、

第二部分 （非选择题，本部分共11题，共100分。）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

设向量
若
则实数
=_______________；

设
为第二象限角，若
则
_______________；

设等比数列
的前n项和为
，若
则
_______________；

已知函数
在R上不是单调减函数，则实数b的取值范围是_______________；

定义在
上的函数
满足：对任意
恒有
成立；当
时，
给出以下命题：

①
②当
时，

③令
若函数
恰有三个零点，则实数k的取值范围是

④
，使
成立。

其中所有真命题的序号是____________________。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16、（本小题12分）

已知函数
，
.

（Ⅰ）求
的最小正周期；

（Ⅱ）求
在闭区间
上的最大值和最小值.

☆





17、在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手.

(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;

(Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望.

☆



18、在平行四边形
中，
，
.将
沿
折起，使得平面
平面
。

（I）求证：AB⊥CD；

（II）若
为
中点，求直线
与平面
所成角的正弦值。

☆



19、已知
是递增的等差数列，
，
是方程
的根。

（I）求
的通项公式；

（Ⅱ）求数列
的前项和.

☆



20、已知点（0，-2），椭圆：
的离心率为
，是椭圆的焦点，直线
的斜率为
，
为坐标原点.

(Ⅰ)求的方程；

（Ⅱ）设过点的直线
与相交于
两点，当
的面积最大时，求
的方程.

☆



21、已知函数
（为常数）的图像与轴交于点，曲线
在点处

的切线斜率为-1.

（I）求的值及函数
的极值；（II）证明：当
时，
；

（III）证明：对任意给定的正数，总存在
，使得当
，恒有
.

☆





邛崃市高2012级高三第二次月考

数学试题（理科）参考答案

选择题：

填空题：

三、解答题：

（Ⅱ）解：

17、解:(Ⅰ) 设事件A 表示:观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手.

观众甲选中3号歌手的概率为
,观众乙未选中3号歌手的概率为
. ……2分

所以P(A) =
. ……………………………………………………4分

因此,观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为
…………6分

(Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,则X可取0,1,2,3.

观众甲选中3号歌手的概率为
,观众乙选中3号歌手的概率为
.

当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时,这时X=0,P(X = 0) =
.

当观众甲、乙、丙中只有1人选中3号歌手时,这时X=1,P(X = 1) =
.

当观众甲、乙、丙中只有2人选中3号歌手时,这时X=2,P(X = 2) =
.

当观众甲、乙、丙均选中3号歌手时,这时X=3,P(X =3) =
. ………4分

X的分布列如下表:

X

0

1

2

3



P













所以,数学期望
………………………………………………6分

(2)过点B在平面BCD内作BE⊥BD.

由(1)知AB⊥平面BCD，BE?平面BCD，BD?平面BCD，∴AB⊥BE，AB⊥BD.

以B为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示)．

依题意，得B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，M.

则＝(1，1，0)，＝，＝(0，1，－1)．

设平面MBC的法向量n＝(x0，y0，z0)，

则即

取z0＝1，得平面MBC的一个法向量n＝(1，－1，1)．

设直线AD与平面MBC所成角为θ，

则sin θ＝＝＝.

19、（Ⅰ）韦达定理，
;（Ⅱ）
(差比数列,乘公比、错位相减)
.

20、(Ⅰ) 设
??，由条件知
，得
? 又
，

所以a=2?，
,故的方程
. ……….6分

（Ⅱ）依题意当
轴不合题意，故设直线l：
，设

将
代入
，得
，

当
，即
时，

从而
? ?

又点O到直线PQ的距离
，所以OPQ的面积

，

设
，则
，
，

当且仅当
，
等号成立，且满足
，所以当OPQ的面积最大时，
的方程为：
或